Integrale

[alessia.zaniboni.9]

Ho qualche problemino con questo integrale:
$ int_(0)^(+oo ) x^(2n+1)*e^{-x^2} $
Dovrebbe fare 1/2..[/spoiler]

[Blackorgasm]

Benvenuto nel forum!

perchè non provi a postare qualche tua idea e soprattutto dove trovi difficoltà?

[gugo82]

@Alexis1690: E noi abbiamo qualche problema con questo modo di postare.

Leggi questo avviso ed il regolamento (in particolare 1.2-1.4 e sezione 3) e regolati di conseguenza.
Altrimenti sarò costretto a chiudere.

[alessia.zaniboni.9]

$ [ x^(2n+2)/(2n+2)*e^{-x^2}]-int_(0)^(oo ) x^(2n+2)/(2n+2)*e^{-x^2}*-2x
=
[ x^(2n+2)/(2n+2)*e^{-x^2}]+1/(n+1) int_(0)^(oo )x^(2n+3)*e^{-x^2} $

e adesso non so come andare avanti non so nemmeno se è giusto risolverlo per parti come ho fatto..

[alessia.zaniboni.9]

scusate.... $ [ x^(2n+2)/(2n+2)*e^{-x^2}]+1/(n+1) int_(0)^(oo )x^(2n+3)*e^{-x^2} $

[gugo82]

Sbagli l'integrazione per parti... Non vedi che aumenta l'esponente?

Per trovare l'integrazione per parti giusta, prova a tenere presente che [tex]$x^{2n+1}\ e^{-x^2} =x^{2n}\cdot x\ e^{-x^2}$[/tex] e che [tex]$\frac{\text{d}}{\text{d} x} e^{-x^2} =-2x\ e^{-x^2}$[/tex].

[alessia.zaniboni.9]

Risoluione per parti:
$ int_(a)^(b) f(x)*g(x) dx = F(x)*g(x)-int_(a)^(b) F(x)*g'(x) dx $
allora F(x) o è la primitiva di
$ e^{-x^2} $ (e calcolarla non è tanto facile...)
oppure la primitiva è di $ x^(2n+1) $ che è $ x^(2n+2)/(2n+2) $
ad ogni modo grazie per l'aiuto ma il professore ha detto che l'unico modo per risolverlo è usare gli infinitesimi....
$ e^{-x^2} $ sarà sempre un infinitesimo superiore di $ x^(2n+1) $
ed è O( $ 1/x^a $ ) per x----> $ +oo $

[gugo82]

Scusa ti ho dato un suggerimento sopra... Se non l'hai capito te lo metto nella tua notazione:

[tex]$F(x)=-\frac{1}{2}\ e^{-x^2} \ \Rightarrow \ f(x)=x\ e^{-x^2}$[/tex]
[tex]$g(x)= x^{2n} \ \Rightarrow \ g^\prime (x)=2n\ x^{2n-1}$[/tex].

Questo metodo ti consente di rappresentare l'integrale [tex]$I_n=\int_0^{+\infty} x^{2n+1}\ e^{-x^2}\ \text{d} x$[/tex] come termine [tex]$n$[/tex]-esimo di una successione definita per ricorrenza, della quale puoi determinare una comoda espressione del termine generale (se n'è già parlato qui... Si dovrebbe trovare la pagina). Perciò basta fare due conti.

Gli infinitesimi servono per stabilire che l'integrale esiste finito, non per trovarne il valore...
Ma non è che vuoi studiare la sommabilità dell'integrale?
In tal caso c'è stato un fraintendimento: ecco cosa succede quando non si riportano correttamente le tracce degli esercizi: si perde tempo entrambi! (Perciò c'è il punto 5 nell'avviso...) perchè ho interpretato [tex]$n$[/tex] come un numero naturale, un indice discreto.
Se è così, quel [tex]$=1/2$[/tex] non significa nulla e ti consiglio di andarti a studiare il capitolo sugli integrali impropri e sui criteri di confronto.