Integrale

[stenel]

Ciao, io sto da poco approcciandomi agli integrali (sono veramente complessi). Svolgendo questo integrale $int\x^2senx^3dx$ e controllando in parallelo la dispensa, si giunge a questo passaggio intermedio $int\sent*(dt)/3$ che mi torna. Dopo questo però, la dispensa mi segnala come passaggio successivo il seguente: $1/3*int\sent*dt=1/3(-cos t)+c$ dicendomi che "posso estrarre 1/3 dall'integrale ed ottengo un integrale immediato". Mi aiutate a capire da dove "salta fuori" quell' 1/3? Per caso esiste a riguardo una regola che mi è sfuggita?

[VINX89]

La regola è molto semplice; in generale, vale quella che si chiama condizione di "linearità" dell' operatore integrale:

$int (a f(x) + b g(x)) dx = a int f(x) dx + b int g(x) dx$

Nel tuo caso specifico, hai una situazione del tipo $int a f(x) dx = a int f(x) dx$.

[stenel]

"VINX89":La regola è molto semplice; in generale, vale quella che si chiama condizione di "linearità" dell' operatore integrale:

$int (a f(x) + b g(x)) dx = a int f(x) dx + b int g(x) dx$

Nel tuo caso specifico, hai una situazione del tipo $int a f(x) dx = a int f(x) dx$.

Ok, ma come mai $dt/3$ diventa $1/3$?

[pater46]

"stenel":
Ok, ma come mai $dt/3$ diventa $1/3$?

Tu hai: $ int \sin t \cdot (dt)/3 = int \sin t \cdot 1/3 \cdot dt = 1/3 int \sint dt $
L'ultimo passaggio è quello ben indicato da stenel.

Forse consideri $(dt)/3 $ un'unica scrittura, ma non è propriamente così. $ (dt)/3 $ diventa semplicemente $1/3 \cdot dt $

PS: Anche se fosse stato $ d(t/3)$ la situazione non sarebbe cambiata... $ d(t/3) = (dt)/3 = 1/3 \cdot dt $ Per la linearità della derivata.
Considera il dt ( come il dx ) semplicemente una quantità infinitesima: l'integrale allora non è altro che la somma di tutte le piccole quantità infinitesime.

Almeno a me nei primi tempi ha aiutato cominciare a pensarla così, anche se l'integrale è incredibilmente ricco di significati e sfumature diverse

[stenel]

"pater46":[quote="stenel"]
Ok, ma come mai $dt/3$ diventa $1/3$?

Tu hai: $ int \sin t \cdot (dt)/3 = int \sin t \cdot 1/3 \cdot dt = 1/3 int \sint dt $
L'ultimo passaggio è quello ben indicato da stenel.

Forse consideri $(dt)/3 $ un'unica scrittura, ma non è propriamente così. $ (dt)/3 $ diventa semplicemente $1/3 \cdot dt $

PS: Anche se fosse stato $ d(t/3)$ la situazione non sarebbe cambiata... $ d(t/3) = (dt)/3 = 1/3 \cdot dt $ Per la linearità della derivata.
Considera il dt ( come il dx ) semplicemente una quantità infinitesima: l'integrale allora non è altro che la somma di tutte le piccole quantità infinitesime.

Almeno a me nei primi tempi ha aiutato cominciare a pensarla così, anche se l'integrale è incredibilmente ricco di significati e sfumature diverse [/quote]

Quindi se non ho capito male $ d(t/3) = (dt)/3 = 1/3 \cdot dt $ è una regola per la linearità della derivata. Ok Pater, grazie veramente per il tuo intervento

[Seneca1]

Regole che, aggiungo io, si possono dimostrare.