Integrale

[uaglione]

$int_0^1 x^3sqrt(1-x^2)dx$ come si risolve?
io ho provato sostituendo $sqrt(1-x^2)$ con $t$ e calcolando il differenziale $2xdx=-2tdt$, poi mi sono bloccato.

[gugo82]

[mod="Gugo82"]Ti consiglio di ripassare il regolamento (cfr. sezione 1. Scopi e finalità).

Qui non risolviamo esercizi "a scatola chiusa"; innanzitutto mostraci come hai provato ad integrare e dove hai trovato difficoltà.[/mod]

[gugo82]

Quando c'è una cosa del tipo $\sqrt(1-x^2)$, la cosa più naturale è provare con una sostituzione trigonometrica: ad esempio $x=sin t$ con $t \in [0,pi/2]$.
Vedi un po' che succede e fammi sapere.

[uaglione]

ho un integrale abbastanza difficile $intsin^3xcos^2xdx

[gugo82]

L'ultimo integrale è quasi banale.
Basta notare che l'esponente del seno è dispari, ricordare la "relazione fondamentale" per ricavare $sin^2t$ e poi tenere presente che $"d"[cos t]=-sin t" d"t$.
Praticamente è risolto.

Ad ogni modo, il capitolo sull'integrazione elementare del Fiorenza-Greco è fatto molto bene; ti consiglio vivamente di buttarci più di un'occhiata.

[uaglione]

grazie mi torna $ 2/15$

[ciampax]

Anche la sostituzione fatta non era male: infatti con $\sqrt{1-x^2}=t$ trovi $x^2=-t^2+1$, $2x\ dx=-2t\ dt$ con estremi $t=1$ e $t=0$, per cui

$\int_0^1 x^2\sqrt{1-x^2}\cdot x\ dx=\int_1^0(1-t^2)\cdot t\cdot (-t\ dt)=\int_0^1(t^2-t^4)\ dt=[t^3/3-t^5/5]_0^1=1/3-1/5=2/{15}$

che è il tuo risultato.

[gugo82]

Occhio ciampax che sotto integrale c'è $x^3$.

[ciampax]

"Gugo82":Occhio ciampax che sotto integrale c'è $x^3$.

Infatti io l'ho scomposto in $x^2\cdot x$!

[gugo82]

ASDASDASD Non l'avevo visto, sorry...

Ad ogni modo, il consiglio per uaglione (che, dato il nick, credo sia delle mie parti... o no?) è quello farsi una bella studiata dal Fiorenza-Greco.

[ciampax]

"Gugo82":ASDASDASD Non l'avevo visto, sorry...

Ad ogni modo, il consiglio per uaglione (che, dato il nick, credo sia delle mie parti... o no?) è quello farsi una bella studiata dal Fiorenza-Greco.

Concordo con il consiglio!