Integrale
sia f una funzione non negativa con concavita rivolta verso l' alto, derivabile e tale che f'(0) $>-$ 0 e f(x)=f(2-x) dimostrare che:
$\int_{0}^{2} f(x) dx$ $<=$ 2f(1)- $(| f(1)-f(0)|^2)/(f'(0))$
$\int_{0}^{2} f(x) dx$ $<=$ 2f(1)- $(| f(1)-f(0)|^2)/(f'(0))$
Risposte
Forse dico fesserie, ma mi sembra ci sia qualcosa che non va...
Se $f$ è concava verso l'alto allora $f'$ è una funzione crescente. Quindi, poichè $f'(0)>0$, sarà $f'(x)>0 \ \ forall x>0$. Abbiamo però che $(f(2)-f(0))/2=0$ e quindi (t. di Lagrange) esiste $c \in [0,2]$ tale che $f'(c)=0$, vista l'ipotesi di derivabilità...
Se $f$ è concava verso l'alto allora $f'$ è una funzione crescente. Quindi, poichè $f'(0)>0$, sarà $f'(x)>0 \ \ forall x>0$. Abbiamo però che $(f(2)-f(0))/2=0$ e quindi (t. di Lagrange) esiste $c \in [0,2]$ tale che $f'(c)=0$, vista l'ipotesi di derivabilità...
Sì quel testo contiene un errore, dovrebbe essere verso il basso.
infatti me ne ero accorto anche io , solo che pensavo di aver sbagliato. poi non capisco come faccia f'(0) ad essere maggiore di 0
"Russell":
Quindi, poichè $f'(0)>0$, sarà $f'(x)>0 \ \ forall x>0$. Abbiamo però che $(f(2)-f(0))/2=0$ e quindi (t. di Lagrange) esiste $c \in [0,2]$ tale che $f'(c)=0$, vista l'ipotesi di derivabilità...
scusa ma non capisco questa tua affermazione. secondo me tra $[0,2]$ ci sara un f'(x)=0
se qualcuno trova la soluzione si faccia avanti. l'esercizio è preso dai test di ammissione alla normale, non penso di averlo copiato male...
"francescodd":
[quote="Russell"] Quindi, poichè $f'(0)>0$, sarà $f'(x)>0 \ \ forall x>0$. Abbiamo però che $(f(2)-f(0))/2=0$ e quindi (t. di Lagrange) esiste $c \in [0,2]$ tale che $f'(c)=0$, vista l'ipotesi di derivabilità...
scusa ma non capisco questa tua affermazione. secondo me tra $c \in [0,2]$ ci sara un f'(x)=0
[/quote]
La mia affermazione è corretta così...
"francescodd":
secondo me tra $c \in [0,2]$ ci sara un f'(x)=0
A questa invece non riesco a dare un significato...matematico!!
Comunque hai copiato il testo correttamente: anno accademico 95/96, prova di matematica per matematici.
Nonostante ciò secondo me c'è un errore.
Adesso provo a riguardare...
. forse tu dici che è impossibile che f'(0) sia maggiore di 0. ho interpretato bene?
Volevo dire che se $f'(0)>0$ e $f'$ è crescente (per la concavità verso l'alto) allora $f'$ deve mantenersi strettamente positiva. Questo contraddice il teorema di Lagrange, secondo il quale esiste un numero reale $\hat{x}$ che sta tra $0$ e $2$ per il quale è $f'(\hat{x})=0$
Se vuoi contraddice addirittura Rolle...
Se vuoi contraddice addirittura Rolle...
infattti. ho capito, mi ero espresso male. comunque pensi che ci sia una soluzione?
Con la concavità ricolta verso il basso potrebbe avere senso... ma non ho ancora avuto modo di pensare ad una soluzione...
penso di aver capito come dimostrarlo, considerando la concavita verso il basso come mi hai detto. una domanda: il grafico di f(x) è una parabola con concavita verso il basso?
Perchè dovrebbe essere proprio una parabola??
Non necessariamente è una parabola, però sì, una parabola con la concavità verso il basso è un esempio che va bene.
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