Integrale
in un compito di analisi ho il seguente esercizio:
calcolare
$int_C|y-1|ds $
essendo $C$ la curva indicata nel grafico.
grafico:
arco di circonferenza di raggio 2 e che termina nel IV quadrante alla retta $y=-x$
(spero di essermi spiegata!)
ora,devo parametrizzare la curva perchè il testo non me la fornisce:
come si fa?
la circonferenza ha equazione $x^2+y^2=R$
mentre l'arco di circonferenza?
oppure potrei usare le coordinate polari:
$x=x_0+rho cos teta $
$y=y_0+rho sen teta $
ma non so.....
una volta parametrizzata la curva $r:[a,b] in R^n$
dovrei svolgere l'ntegrale così:
$int_C|y-1|ds =int_a^b f(r(t)) ||r'(t)|| dt $
giusto?
calcolare
$int_C|y-1|ds $
essendo $C$ la curva indicata nel grafico.
grafico:
arco di circonferenza di raggio 2 e che termina nel IV quadrante alla retta $y=-x$
(spero di essermi spiegata!)
ora,devo parametrizzare la curva perchè il testo non me la fornisce:
come si fa?
la circonferenza ha equazione $x^2+y^2=R$
mentre l'arco di circonferenza?
oppure potrei usare le coordinate polari:
$x=x_0+rho cos teta $
$y=y_0+rho sen teta $
ma non so.....
una volta parametrizzata la curva $r:[a,b] in R^n$
dovrei svolgere l'ntegrale così:
$int_C|y-1|ds =int_a^b f(r(t)) ||r'(t)|| dt $
giusto?
Risposte
E' chiaro che il testo non fornisca la parametrizzazione, dato che questa riguarda
lo svolgimento del problema.
Se capisco bene la tua curva e' un arco di circonferenza di raggio 2 che termina
nel punto $(\sqrt{2},-\sqrt{2})$ ( e comincia in $(2,0)$ immagino). In questo caso
la parametrizzazione piu' comoda mi sembra
$x=2\cos(t)$
$y=2\sin(t)$
per $t$ che varia tra $0$ e $2\pi-\pi/4=7\pi/4$. Con questa parametrizzazione l'integrale
diventa
$\int_0^{{7\pi}/4}|\sin(t)-1| \sqrt{\cos^2(t)+\sin^2(t)}= \int_0^{{7\pi}/4}|\sin(t)-1|dt=...$
Questo non e' l'unico modo (anche se e' decisamente il piu' semplice). Se tu avessi dovuto integrate solo
sul pezzo di curva che va fino all'intersazione con l'asse $x$, cioe' fino a $(-2,0)$ avresti
potuto parametrizzare con
$x=t$
$y=\sqrt{4-t^2}$
per $t$ tra $-2$ e $2$. Facendo cosi' ti tocca calcolare
$\int_{-2}^2|\sqrt{4-t^2}-1| \sqrt{1+(-t/ \sqrt{4-t^2})^2} dt =...$
che e' complicato, ma alla fine da lo stesso risultato di $\int_0^\pi|\sin(t)-1| dt$.
La seconda parametrizzazione corrisponde al vedere l'arco di circonferenza come grafico
della funzione $\sqrt{4-x^2}$, cosa che si puo' fare solo per il pezzo superiore della circonferenza.
Se tu volessi parametrizzare il pezzo inferiore dovresti considerare
$x=t$
$y=-\sqrt{4-t^2}$
Quindi se tu volessi usare questo tipo di parametrizzazioni per calcolare l'integrale iniziale dovresti
spezzare la curva in due pezzi (la parte sopra e quella sotto) e fare la somma dei dei due contributi.
lo svolgimento del problema.
Se capisco bene la tua curva e' un arco di circonferenza di raggio 2 che termina
nel punto $(\sqrt{2},-\sqrt{2})$ ( e comincia in $(2,0)$ immagino). In questo caso
la parametrizzazione piu' comoda mi sembra
$x=2\cos(t)$
$y=2\sin(t)$
per $t$ che varia tra $0$ e $2\pi-\pi/4=7\pi/4$. Con questa parametrizzazione l'integrale
diventa
$\int_0^{{7\pi}/4}|\sin(t)-1| \sqrt{\cos^2(t)+\sin^2(t)}= \int_0^{{7\pi}/4}|\sin(t)-1|dt=...$
Questo non e' l'unico modo (anche se e' decisamente il piu' semplice). Se tu avessi dovuto integrate solo
sul pezzo di curva che va fino all'intersazione con l'asse $x$, cioe' fino a $(-2,0)$ avresti
potuto parametrizzare con
$x=t$
$y=\sqrt{4-t^2}$
per $t$ tra $-2$ e $2$. Facendo cosi' ti tocca calcolare
$\int_{-2}^2|\sqrt{4-t^2}-1| \sqrt{1+(-t/ \sqrt{4-t^2})^2} dt =...$
che e' complicato, ma alla fine da lo stesso risultato di $\int_0^\pi|\sin(t)-1| dt$.
La seconda parametrizzazione corrisponde al vedere l'arco di circonferenza come grafico
della funzione $\sqrt{4-x^2}$, cosa che si puo' fare solo per il pezzo superiore della circonferenza.
Se tu volessi parametrizzare il pezzo inferiore dovresti considerare
$x=t$
$y=-\sqrt{4-t^2}$
Quindi se tu volessi usare questo tipo di parametrizzazioni per calcolare l'integrale iniziale dovresti
spezzare la curva in due pezzi (la parte sopra e quella sotto) e fare la somma dei dei due contributi.
ciao!
ma il sen ed il cos di 45° non fa $sqrt2/2$?
perchè hai messo solo la radice?
poi se fai variare l'angolo tra $0$ e $7/4pi$ non considero la parte rimamete escludendo l'arco in questione che è compreso tra $pi/2<=t<=0$ e $-pi/4<=t<=0$???
il secondo modo poi non o guardo proprio perchè già ho difficoltà nel capire questo!
grazie di tutto!
ma il sen ed il cos di 45° non fa $sqrt2/2$?
perchè hai messo solo la radice?
poi se fai variare l'angolo tra $0$ e $7/4pi$ non considero la parte rimamete escludendo l'arco in questione che è compreso tra $pi/2<=t<=0$ e $-pi/4<=t<=0$???
il secondo modo poi non o guardo proprio perchè già ho difficoltà nel capire questo!
grazie di tutto!
Secondo me bisogna anche discutere il valore assoluto. Di una curva esistono infinite parametrizzazioni.
Secondo la curva che hai disegnato dovrebbe venire:
$\{(x= 2cos \theta),(y = 2sin \theta):}$ con $\theta \in$ $[- \pi/4, \pi/2]$
poi, $|y-1| =$ $\{(y-1, se, y>1),(1-y, se, y<1):}$
Per $y=1$ la funzione è nulla, non dà contributo all'integrale. Tenendo presente che $ds=Rd \theta = 2d\theta$
$\int_{C} |y-1| ds =$ $\int_{-\pi/4}^{\pi/3}(1 - 2sin \theta)2 d\theta $ $ +\int_{\pi/3}^{\pi/2}(2sin \theta -1)2 d\theta$
il resto sono conti, dunque viene anche più semplice
Secondo la curva che hai disegnato dovrebbe venire:
$\{(x= 2cos \theta),(y = 2sin \theta):}$ con $\theta \in$ $[- \pi/4, \pi/2]$
poi, $|y-1| =$ $\{(y-1, se, y>1),(1-y, se, y<1):}$
Per $y=1$ la funzione è nulla, non dà contributo all'integrale. Tenendo presente che $ds=Rd \theta = 2d\theta$
$\int_{C} |y-1| ds =$ $\int_{-\pi/4}^{\pi/3}(1 - 2sin \theta)2 d\theta $ $ +\int_{\pi/3}^{\pi/2}(2sin \theta -1)2 d\theta$
il resto sono conti, dunque viene anche più semplice
ciao!il disegno della curva son riuscita a farlo nel post CURVE che trovi qui di sotto!
dimmi che parametrizzazione useresti!
dimmi che parametrizzazione useresti!
"jestripa":
ciao!il disegno della curva son riuscita a farlo nel post CURVE che trovi qui di sotto!
dimmi che parametrizzazione useresti!
Vedi sopra riposta modificata. Di solito la circonferenza si parametrizza così, una curva è una classe d'equivalenza di rappresentazioni parametriche tra loro equivalenti e sono infinite
avrei un paio di domande sull'argomento,se sei disponibile te le faccio!
1)quando scrivi:
$x=2cos theta$
$y=2sen theta$
2 è il raggio,vero?
non importa che sia un arco,devo comunque mettere il raggio della circonferenza,giusto?
2)verso di percorrenza della curva
se avessi:
[asvg]axes ( );
arc ( [-2 , 0] , [0 , -2] );[/asvg]
percorsa in senso orario,la parametrizzazione potrebbe essere:
$x=2cos theta$
$y=2sin theta$
$pi<=theta<=3/2pi$ ???
3)se mi chiedono ditrovare le equazioni parametriche della curva:
$x^(2/3)+y^(2/3)=1$
come devo procedere?
$x=2cos theta$
$y=2sen theta$
2 è il raggio,vero?
non importa che sia un arco,devo comunque mettere il raggio della circonferenza,giusto?
2)verso di percorrenza della curva
se avessi:
[asvg]axes ( );
arc ( [-2 , 0] , [0 , -2] );[/asvg]
percorsa in senso orario,la parametrizzazione potrebbe essere:
$x=2cos theta$
$y=2sin theta$
$pi<=theta<=3/2pi$ ???
3)se mi chiedono ditrovare le equazioni parametriche della curva:
$x^(2/3)+y^(2/3)=1$
come devo procedere?
"jestripa":
1)quando scrivi:
$x=2cos theta$
$y=2sen theta$
2 è il raggio,vero?
non importa che sia un arco,devo comunque mettere il raggio della circonferenza,giusto?
2)verso di percorrenza della curva
se avessi:
[asvg]axes ( );
arc ( [-2 , 0] , [0 , -2] );[/asvg]
1) certo che è il raggio vero, altrimenti non ritroveresti le coordinate cartesiane giuste nella rappresentazione parametrica. Prova a osservarla bene e fare due conti negli estremi dell'intervallo.
Quello che intendi tu è forse l'equazione cartesiana della circonferenza che è, in questo caso $x^2+y^2 = 4$, qua ci vuole il raggio al quadrato dato che è un'applicazione del teorema di Pitagora.
2)In matematica i quadranti si numerano in senso antiorario dal primo al quarto partendo da quello di nord-est.
Anche gli angoli si misurano così, in senso antiorario, dunque anche la circonferenza si percorre in senso antiorario
Nel caso dell'arco disegnato sul grafico vale la parametrizzazione di prima ma con $\theta$ che varia fra $\pi$ e $3/2\pi$.
Chiaro?
3) scrivi la stessa parametrizzazione solamente che al posto del raggio di prima (2) devi mettere radice di 3.
chiaro il p.to 1
per il p.to 2 se hai detto che gli angoli si misurano in senso antiorario e la mia curva è percorsa in senso orario,l'intervallo in cui è compreso l'angolo che ti ho scritto sopra non dovrebbe essere sbagliato?
per il p.to 2 se hai detto che gli angoli si misurano in senso antiorario e la mia curva è percorsa in senso orario,l'intervallo in cui è compreso l'angolo che ti ho scritto sopra non dovrebbe essere sbagliato?
ho corretto il post dell'untimo puno te ne sei accorto?
quindi una parametrizzazione per
$x^(2/3)+y^(2/3)=1$
è:
$x=sqrt3costheta$
$y=sqrt3sentheta$
non mi convince tanto...
il disegno è:
[asvg]axes ( );
dot( [0 , 1] );
dot ( [1 , 0] );
arc ( [0 , 1] , [1 , 0] );[/asvg]
non mi sembra che si possa considerare come una circonferenza.....
$x^(2/3)+y^(2/3)=1$
è:
$x=sqrt3costheta$
$y=sqrt3sentheta$
non mi convince tanto...
il disegno è:
[asvg]axes ( );
dot( [0 , 1] );
dot ( [1 , 0] );
arc ( [0 , 1] , [1 , 0] );[/asvg]
non mi sembra che si possa considerare come una circonferenza.....
ero rimasto alla parametrizzazione precedente...
L'equazione cartesiana che hai scritto non è neanche una circonferenza
L'equazione cartesiana che hai scritto non è neanche una circonferenza
infatti!
scusami ma bisogna stare molto attenti con queste parentesi!avevo dimenticato di metterle!in questo caso,la curva come potrebbe essere parametrizzata?
scusami ma bisogna stare molto attenti con queste parentesi!avevo dimenticato di metterle!in questo caso,la curva come potrebbe essere parametrizzata?
eh marco!
ci sei?
non sai come me la posso cavare con questa parametrizzazione?
ci sei?
non sai come me la posso cavare con questa parametrizzazione?
$x=cos^3theta$
$y=sin^3theta$
Marco80
$y=sin^3theta$
Marco80
e l'angolo?
quali sono gli estremi?
quali sono gli estremi?
Ciao e Buona Pasqua.
L'angolo teta varia fra zero e $\pi/2$
L'angolo teta varia fra zero e $\pi/2$
grazie!
Buona pasqua anche a te!
e a tutti quelli che sono collegati,ovviamente!
io nn festeggerò,nn son tornata a casa perchè mi tocca studiare come un treno!
Buona pasqua anche a te!
e a tutti quelli che sono collegati,ovviamente!
io nn festeggerò,nn son tornata a casa perchè mi tocca studiare come un treno!
ciao marco!
scusa ma non ho capito un passaggio dell'integrale iniziale che hai svolto.
$int_C|y-1|ds=int_(-pi/4)^(pi/3)(1-2sen theta)2d theta + int_(pi/3)^(pi/2)(2sen theta-1)2d theta$
la $y$ inizia a essere positiva prima di $pi/3$ direi da zero,perchè hai scelto di mettere proprio questo valore?
scusa ma non ho capito un passaggio dell'integrale iniziale che hai svolto.
$int_C|y-1|ds=int_(-pi/4)^(pi/3)(1-2sen theta)2d theta + int_(pi/3)^(pi/2)(2sen theta-1)2d theta$
la $y$ inizia a essere positiva prima di $pi/3$ direi da zero,perchè hai scelto di mettere proprio questo valore?
"jestripa":
ciao marco!
scusa ma non ho capito un passaggio dell'integrale iniziale che hai svolto.
$int_C|y-1|ds=int_(-pi/4)^(pi/3)(1-2sen theta)2d theta + int_(pi/3)^(pi/2)(2sen theta-1)2d theta$
la $y$ inizia a essere positiva prima di $pi/3$ direi da zero,perchè hai scelto di mettere proprio questo valore?
Non è la y che deve essere positiva. Hai il valore assoluto di $y-1$, è questo che cambia segno al variare di y, minore di 1 o maggiore di 1.
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