Integrale

[Sk_Anonymous]

Calcolare:

$int_(-oo)^0sqrt(-x)/((1-x)*(1+x^2))dx

[f.bisecco]

Proporrei sostituzione $sqrt(-x)=t$
un po' lungo ma fattibile...

[Kroldar]

Con la sostituzione proposta si ottiene il seguente integrale

$int_0^(+oo) (2t^2)/((1+t^2)(1+t^4)) dt$

che, essendo la funzione integranda pari, diventa

$int_(-oo)^(+oo) (t^2)/((1+t^2)(1+t^4)) dt$

Tenendo conto che nella funzione integranda
1) il grado del denominatore è maggiore di $4$ unità rispetto al grado del numeratore
2) non ci sono poli reali
possiamo concludere che l'integrale cercato è assolutamente convergente.

Per calcolarlo, occorre trovare i residui relativi ai poli a parte immaginaria positiva.
Tali poli sono: $z_1 = j$, $z_2 = sqrt(2)/2+jsqrt(2)/2$, $z_3 = -sqrt(2)/2+jsqrt(2)/2$

Per non appesantire il post, eviterò di postare i conti effettuati.
Risulta in definitiva:
$R[j] = j/4$
$R[sqrt(2)/2+jsqrt(2)/2] = -sqrt(2)/8j$
$R[-sqrt(2)/2+jsqrt(2)/2] = -sqrt(2)/8j$

In definitiva, l'integrale cercato è pari a $2pij(j/4-sqrt(2)/8j-sqrt(2)/8j) = 2pij(j/4-sqrt(2)/4j) = pi/2(sqrt(2)-1)$