Integrale
potete cortesemente risolvere il seguente integrale? io è due ore che provo senza troppi risultati, se potete illustrare i passaggi senza omettere nulla dal momento che ciò che oi potreste considerare ovvio per me potrebbe non esserlo.
$int_(0)^(sqrt2) xsqrt(1+x^2) dx$
grazie mille
$int_(0)^(sqrt2) xsqrt(1+x^2) dx$
grazie mille
Risposte
"mrpoint":
potete cortesemente risolvere il seguente integrale? io è due ore che provo senza troppi risultati, se potete illustrare i passaggi senza omettere nulla dal momento che ciò che oi potreste considerare ovvio per me potrebbe non esserlo.
$int_(0)^(sqrt2) xsqrt(1+x^2) dx$
grazie mille
Riprova ponendo semplicemente $1+x^2=t$.
hai provato con la sostituzione $x=sinh y$?
allora, ho proceduto per sostituzione come suggerito;
posto $1+x^2=t$, quindi $x=sqrt(t-1)$
ricavo ora $dx=dt/(2(sqrt(t-1)))$
calcolo quindi i nuovi estremi; per $x=sqrt(2) -> t=3$ per $x=0-> t=1$
sostituisco ricavando
$int_(1)^(3) sqrt(t)/2 dt = sqrt(3) - 1/3$
Dovrebbe essere giusta;
ora vi chiedo: ad occhio come si può iniziare a farsi una idea del metodo risolutivo da applicare? io avevo iniziato ad integrare per parti...
Sonja grazie comunque del suggerimento; rima del post stavo pensando di provare appunto utilizzando le formule trigonometriche in quanto c'era un esercizio svolto simile che le utilizzava... Non ho veramente gran coscienza di quel che faccio comunque...
posto $1+x^2=t$, quindi $x=sqrt(t-1)$
ricavo ora $dx=dt/(2(sqrt(t-1)))$
calcolo quindi i nuovi estremi; per $x=sqrt(2) -> t=3$ per $x=0-> t=1$
sostituisco ricavando
$int_(1)^(3) sqrt(t)/2 dt = sqrt(3) - 1/3$
Dovrebbe essere giusta;
ora vi chiedo: ad occhio come si può iniziare a farsi una idea del metodo risolutivo da applicare? io avevo iniziato ad integrare per parti...
Sonja grazie comunque del suggerimento; rima del post stavo pensando di provare appunto utilizzando le formule trigonometriche in quanto c'era un esercizio svolto simile che le utilizzava... Non ho veramente gran coscienza di quel che faccio comunque...
ci sono sostituzioni che sono abbastanza "standard"... tipo se hai una cosa della forma $\sqrt{1-x^2}$ conviene una sostituzione del tipo $y=sin x$, mentre se nella radice ha un segno positivo (ossia hai $\sqrt{1+x^2}$) la scelta "classica" è usare il seno iperbolico, ovvero la sostituzione che avevo suggerito io...
in effetti però quella di MaMo in questo caso è migliore...
in effetti però quella di MaMo in questo caso è migliore...
Ora che ci faccio caso sonja involontariamente io seguivo il suggerimento di tal Pellegrinotti (credo) posto nella tua firma 
Ma non avete visto che fuori dalla radice c'è una $x$?
Si calcola subito:
$1/2 int 2xsqrt(1+x^2) dx = 1/2 ((1+x^2)^(1/2+1))/(1/2+1) + k
Si calcola subito:
$1/2 int 2xsqrt(1+x^2) dx = 1/2 ((1+x^2)^(1/2+1))/(1/2+1) + k
È quello che aveva detto MaMo (penso).
"Reynolds":
Ma non avete visto che fuori dalla radice c'è una $x$?
Si calcola subito:
$1/2 int 2xsqrt(1+x^2) dx = 1/2 ((1+x^2)^(1/2+1))/(1/2+1) + k
Appunto è un integrale immediato , non c'è bisogno di nessuna sostituzione
mi sfugge il perchè è un integrale così ovvio...
Perché $\int f^n(x) f'(x) dx = \frac{(f(x))^{n+1}}{n+1}$, dove $f'(x) = \frac{d}{dx}f(x)$ e $n \ne -1$.
"Reynolds":
Ma non avete visto che fuori dalla radice c'è una $x$?
Si calcola subito:
$1/2 int 2xsqrt(1+x^2) dx = 1/2 ((1+x^2)^(1/2+1))/(1/2+1) + k
infatti quella x fuori mi era sfuggita.. per quello avevo pensato al seno iperbolico....
quella di Pellegrinotti è una gran verità della vita... però si può usare solo se non hai alternative migliori...
Grazie mille gente; passo e chiudo.
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