Integrale
$int -pi/((1+x^2)(arctanx)^2)dx$ Come si integra questo genere d'integrale?
Risposte
E' piuttosto banale...
Porti fuori la costante $-pi$ e ti resta
$int (arctgx)^(-2)*1/(1+x^2) dx
che è il caso $int f^alpha(x) df(x)
Porti fuori la costante $-pi$ e ti resta
$int (arctgx)^(-2)*1/(1+x^2) dx
che è il caso $int f^alpha(x) df(x)
Grazie Fireball, ed io che cercavo d'integrare per parti...
Provo a postarvene uno più serio:
$int e^(4sqrt(x)-x)*(4sqrt(x)+xsqrt(x)-4x-1)/(xsqrt(x))dx$
$int e^(4sqrt(x)-x)*(4sqrt(x)+xsqrt(x)-4x-1)/(xsqrt(x))dx$
"Mortimer":
Provo a postarvene uno più serio:
$int e^(4sqrt(x)-x)*(4sqrt(x)+xsqrt(x)-4x-1)/(xsqrt(x))dx$
Allora
$(4sqrt(x)+xsqrt(x)-4x-1)/(xsqrt(x))=(4/x+1-4/sqrt(x))-1/(xsqrt(x))=(2/sqrt(x)-1)^2-1/(xsqrt(x))$
Ora notiamo che $e^(4sqrt(x)-x)(2/sqrt(x)-1)^2=(2/sqrt(x)-1)*d/dx(e^(4sqrt(x)-x))$ mentre
$e^(4sqrt(x)-x)*(-1/(xsqrt(x)))=e^(4sqrt(x)-x)*d/dx(2/sqrt(x)-1)$
Quindi se $f(x)=e^(4sqrt(x)-x)$ e $g(x)=(2/sqrt(x)-1)$ ci troviamo difronte al calcolo di
$int(f*g'+f'*g)dx=f*g+C$ ricordando la formula di derivazione del prodotto per cui $(f*g)'=f*g'+f'*g$
Per cui $int e^(4sqrt(x)-x)*(4sqrt(x)+xsqrt(x)-4x-1)/(xsqrt(x))dx=e^(4sqrt(x)-x)*(2/sqrt(x)-1)+C$
Qualcuno sarebbe cosi gentile da spiegarmi questo integrale:
$int sqrt (1-y^2) dy
si risolv per per sostituzione?
grazie
$int sqrt (1-y^2) dy
si risolv per per sostituzione?
grazie
"fidelio80":
Qualcuno sarebbe cosi gentile da spiegarmi questo integrale:
$int sqrt (1-y^2) dy
si risolv per per sostituzione?
grazie
$y=sint$ $->$ $dy=d(sint)=cost*dt$
Quindi
$int sqrt (1-y^2) dy=int sqrt(1-sin^2t)*costdt=int cos^2tdt=int(1+cos2t)/2dt=t/2+(sin2t)/4+C$
Quindi
$int sqrt (1-y^2) dy=1/2arcsin(y)+1/2sin(arcsin(y))*cos(arcsin(y))+C$
Ora $sin(arcsin(y))=y$ mentre $cos(arcsin(y))=sqrt(1-sin^2(arcsiny))=sqrt(1-y^2)$ per cui
$int sqrt (1-y^2) dy$=$1/2arcsin(y)+1/2sin(arcsin(y))*cos(arcsin(y))+C$=$1/2arcsin(y)+1/2*y*sqrt(1-y^2)+C$
Grazie mille!
A dire la verità pensavo fosse più immediato.
Mi sbagliavo.
A dire la verità pensavo fosse più immediato.
Mi sbagliavo.
In realtà non è così immediato come ha fatto nicasamarciano; quella sostituzione potrebbe non essere consentita dal Teorema di sostituzione, dal momento che entrano in gioco funzioni che non sono invertibili.
Tuttavia il risultato, se uno prova a derivare, è corretto, ma non è corretto, in generale, il procedimento utilizzato per arrivare ad esso.
Tuttavia il risultato, se uno prova a derivare, è corretto, ma non è corretto, in generale, il procedimento utilizzato per arrivare ad esso.
Avresti potuto pure:
$int sqrt (1-y^2) dy$=$int (1-y^2)/(sqrt (1-y^2)) dy$=$int 1/(sqrt (1-y^2)) dy$+$int -y^2/(sqrt (1-y^2)) dy$=
$int y*(-y)/(sqrt (1-y^2)) dy$ per parti da $y*sqrt(1-y^2)-int sqrt (1-y^2) dy$ quindi
$int sqrt (1-y^2) dy$=$arcsin(y)$+$y*sqrt(1-y^2)-int sqrt (1-y^2) dy$
porti di là l'ultimo pezzo:
$2int sqrt (1-y^2) dy$=$arcsin(y)$+$y*sqrt(1-y^2)$ e quindi
$int sqrt (1-y^2) dy$=$1/2*arcsin(y)$+$1/2y*sqrt(1-y^2)+C$
$int sqrt (1-y^2) dy$=$int (1-y^2)/(sqrt (1-y^2)) dy$=$int 1/(sqrt (1-y^2)) dy$+$int -y^2/(sqrt (1-y^2)) dy$=
$int y*(-y)/(sqrt (1-y^2)) dy$ per parti da $y*sqrt(1-y^2)-int sqrt (1-y^2) dy$ quindi
$int sqrt (1-y^2) dy$=$arcsin(y)$+$y*sqrt(1-y^2)-int sqrt (1-y^2) dy$
porti di là l'ultimo pezzo:
$2int sqrt (1-y^2) dy$=$arcsin(y)$+$y*sqrt(1-y^2)$ e quindi
$int sqrt (1-y^2) dy$=$1/2*arcsin(y)$+$1/2y*sqrt(1-y^2)+C$
Ok, questo è interamente corretto.
In verità non ho mai sentito parlare di Teorema di sostituzione. Ho sempre posto una certa funzione della variabile di integrazione uguale a un'altra funzione di una variabile a caso, senza riserva alcuna. Cosa dice quel Teorema?
"Luca.Lussardi":
In realtà non è così immediato come ha fatto nicasamarciano; quella sostituzione potrebbe non essere consentita dal Teorema di sostituzione, dal momento che entrano in gioco funzioni che non sono invertibili.
Tuttavia il risultato, se uno prova a derivare, è corretto, ma non è corretto, in generale, il procedimento utilizzato per arrivare ad esso.
è logico che passando alle funzioni inverse presupponevo di poterlo fare. Avresti potuto muovermi qualche critica nel momento in cui l'integrale era definito per cui nell'intervallo di integrazione le funzioni non potevo invertirle ed in cui era chiaro che io avevo invertito senza tener conto di nulla. Ma dire che il procedimento non è corretto mi sembra troppo, e le parole da me scritte sono quelle del mio professore di analisi all'università, di cui mi fidavo e mi fido tuttora.
Beh, hai fatto male a fidarti, perchè il procedimento da te utilizzato non è corretto così come è scritto, anche se porta ad un risultato corretto. Sono sicuro che anche il tuo professore avrà detto tra le righe le stesse cose che ho detto io.
Per Kroldar: questo è il Teorema corretto.
Sia $f : [a,b] \to \RR$ una funzione continua, e sia $\phi : [\alpha,\beta] \to \RR$ una funzione derivabile con $\phi([\alpha,\beta]) =[a,b]$ e $G : [\alpha,\beta] \to \RR$ una primitiva di $f(\phi(t))\phi'(t)$. Supponiamo che si abbia $\phi'(t)>0$ oppure $\phi'(t)<0$ per ogni $t \in [\alpha,\beta]$; allora $G \circ \phi^(-1)$ è una primitiva di $f$.
Evidentemente, senza opportune considerazioni, tale Teorema non si applica al caso $\phi(t)=sen t$, come invece è stato applicato.
Sia $f : [a,b] \to \RR$ una funzione continua, e sia $\phi : [\alpha,\beta] \to \RR$ una funzione derivabile con $\phi([\alpha,\beta]) =[a,b]$ e $G : [\alpha,\beta] \to \RR$ una primitiva di $f(\phi(t))\phi'(t)$. Supponiamo che si abbia $\phi'(t)>0$ oppure $\phi'(t)<0$ per ogni $t \in [\alpha,\beta]$; allora $G \circ \phi^(-1)$ è una primitiva di $f$.
Evidentemente, senza opportune considerazioni, tale Teorema non si applica al caso $\phi(t)=sen t$, come invece è stato applicato.
"Luca.Lussardi":
Beh, hai fatto male a fidarti, perchè il procedimento da te utilizzato non è corretto così come è scritto, anche se porta ad un risultato corretto. Sono sicuro che anche il tuo professore avrà detto tra le righe le stesse cose che ho detto io.
il solito presuntuoso: tu non sei il depositario di nessuna cosa, lo vuoi capire o no? ma azzuffarmi con te è tempo perso e scrivo parole inutili.
Io non sono depositario di nessuno, io dico solo come stanno le cose. Il Teorema di sostituzione non l'ho inventato io, nè è una mia opinione, è la Matematica che è così, e per quanto possa sembrare strano i Teoremi vanno applicati per bene, con ogni riferimento correttamente.
Non ti stai azzuffando con me, ma con la Matematica. Per altro hai mostrato di avere un atteggiamento molto poco professionale; uno come te che la Matematica la conosce sa benissimo che quello che ha scritto non è preciso, per cui avresti fatto bene a correggerti, o a postare una soluzione corretta alternativa, come da altri è stato fatto.
Non ti stai azzuffando con me, ma con la Matematica. Per altro hai mostrato di avere un atteggiamento molto poco professionale; uno come te che la Matematica la conosce sa benissimo che quello che ha scritto non è preciso, per cui avresti fatto bene a correggerti, o a postare una soluzione corretta alternativa, come da altri è stato fatto.
"Luca.Lussardi":
Io non sono depositario di nessuno, io dico solo come stanno le cose. Il Teorema di sostituzione non l'ho inventato io, nè è una mia opinione, è la Matematica che è così, e per quanto possa sembrare strano i Teoremi vanno applicati per bene, con ogni riferimento correttamente.
Non ti stai azzuffando con me, ma con la Matematica. Per altro hai mostrato di avere un atteggiamento molto poco professionale; uno come te che la Matematica la conosce sa benissimo che quello che ha scritto non è preciso, per cui avresti fatto bene a correggerti, o a postare una soluzione corretta alternativa, come da altri è stato fatto.
io la matematica non la conosco: ma se la mia prof. di analisi allora lo svolse così allora chissà chi avrà ragiose, se tu o lei che modestamente è da lungo tempo ordinario.
Sul fatto che ho utilizzato le funzioni inverse, te l'ho detto che supponevo di poterle usare non avendo alcune imposizioni sui limiti di integrazione. Poi sul mio testo di analisi mi viene chiesto di svolgerlo con la sostituzione, se tu sei in grado di svolgerlo con la sostituzione come dice il libro che si può fare allora ammetterò il mio probabile errore, ma sino ad allora....aspetta e spera.
Il tuo non è un errore, è una imprecisione nel procedimento; il Teorema lo puoi leggere, sta scritto sopra, e non puoi dirmi che lo puoi applicare come sta scritto. Quindi per cercare le primitive usando quel Teorema uno usa il Th fondamentale del calcolo, scrive l'integrale definito generico e spezza nella somma di più integrali su intervalli in ciascuno dei quali può operare la sostituzione. Alla fine rimette tutto insieme ed esce esattamente il tuo risultato, stavolta ottenuto applicando correttamente il Teorema.
Lo so anche io che spesso all'Università o a scuola si fa il conto come lo hai messo tu (l'ho visto su testi vari) ma non è corretto. Quindi se ve lo ha fatto anche a voi esattamente così non ha applicato correttamente il Teorema di sostituzione.
Lo so anche io che spesso all'Università o a scuola si fa il conto come lo hai messo tu (l'ho visto su testi vari) ma non è corretto. Quindi se ve lo ha fatto anche a voi esattamente così non ha applicato correttamente il Teorema di sostituzione.
"Luca.Lussardi":
Il tuo non è un errore, è una imprecisione nel procedimento; il Teorema lo puoi leggere, sta scritto sopra, e non puoi dirmi che lo puoi applicare come sta scritto. Quindi per cercare le primitive usando quel Teorema uno usa il Th fondamentale del calcolo, scrive l'integrale definito generico e spezza nella somma di più integrali su intervalli in ciascuno dei quali può operare la sostituzione. Alla fine rimette tutto insieme ed esce esattamente il tuo risultato, stavolta ottenuto applicando correttamente il Teorema.
Lo so anche io che spesso all'Università o a scuola si fa il conto come lo hai messo tu (l'ho visto su testi vari) ma non è corretto. Quindi se ve lo ha fatto anche a voi esattamente così non ha applicato correttamente il Teorema di sostituzione.
OK
Luca quindi si deve spezzare in intervalli in cui $phi'(t)$ sia strettamente positiva o strettamente negativa? E quando $phi'(t)$ si annulla come si fa?
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