Integrale
Non riesco a risolvere l'integrale tra meno e più infinito di $ (1-cos(2pix))/(x^4 - 1)^2 $ ovviamente in dx. Questa funzione è continua su tutto R. Di solito quando ho una funzione goniometrica al numeratore la trasformo in un'esponenziale e alla fine prendo solo la parte reale o solo il coefficiente dell'immaginario,però c'è quell'1 che dà fastidio e non riesco a procedere. Un'altra domanda... nel caso di una funzione continua su tutto R, l'integrale di questa funzione tra meno e più infinito può essere definito integrale a valor principale oppure affinché sia tale occorre che la funzione abbia almeno un punto di discontinuità in R?
Risposte
I punti "pericolosi" sono $\pm\infty$.
Ti conviene spezzare l'integrale in modo da renderti conto di come si comporti in modo più facile.
Prendiamo all'inizio $\int_0^{+\infty}(1-cos(2pix))/(x^4 - 1)^2\approx\int_0^{+\infty}1/{x^8}<+\infty$
Questo lo sappiamo, ma se non ti fosse noto puoi in ogni caso calcolarti la primitiva.
Poi: $\int_{-\infty}^0(1-cos(2pix))/(x^4 - 1)^2\approx \int_{-\infty}^0 1/{x^8}$
L'integrale converge su tutto $bb{R}$
Ti conviene spezzare l'integrale in modo da renderti conto di come si comporti in modo più facile.
Prendiamo all'inizio $\int_0^{+\infty}(1-cos(2pix))/(x^4 - 1)^2\approx\int_0^{+\infty}1/{x^8}<+\infty$
Questo lo sappiamo, ma se non ti fosse noto puoi in ogni caso calcolarti la primitiva.
Poi: $\int_{-\infty}^0(1-cos(2pix))/(x^4 - 1)^2\approx \int_{-\infty}^0 1/{x^8}$
L'integrale converge su tutto $bb{R}$
Io userei una tecnica tipo calcolo dei residui.... Il denominatore mi sembra fatto apposta per mandare a zero la parte immaginaria di un cammino a semicirconferenza mandato all'infinito....
Per il valore principale mi sembra che ci sia un po' di confusione.
Il valor principale e':
$lim_{R -> +oo} \int_{-R}^R f(x) dx $
Se $f$ e' integrabile assolutamente(*) allora si dimostra che:
$\int_{-oo}^{+oo} f(x) dx = lim_{R -> +oo} \int_{-R}^R f(x) dx $
Tecniche tipo calcolo dei residui, quando sono applicabili, forniscono il valore principale dell'integrale. Bisogna poi mostrare che questo coincide con l'integrale.
L'unico problema dei residui e' che ci vuole almeno un polo su cui calcolarli (su $CC$) altrimenti il teorema ti dice solo che l'integrale su ogni cammino chiuso e' zero, ma non ti aiuta a trovare il valore dell'integrale su $RR$.
(*) forse esiste una condizione piu' debole sotto la quale questo avviene. Con l'assoluta integrabilita (integrabilita' in modulo) comunque siamo sicuri che tutto funziona
Il valor principale e':
$lim_{R -> +oo} \int_{-R}^R f(x) dx $
Se $f$ e' integrabile assolutamente(*) allora si dimostra che:
$\int_{-oo}^{+oo} f(x) dx = lim_{R -> +oo} \int_{-R}^R f(x) dx $
Tecniche tipo calcolo dei residui, quando sono applicabili, forniscono il valore principale dell'integrale. Bisogna poi mostrare che questo coincide con l'integrale.
L'unico problema dei residui e' che ci vuole almeno un polo su cui calcolarli (su $CC$) altrimenti il teorema ti dice solo che l'integrale su ogni cammino chiuso e' zero, ma non ti aiuta a trovare il valore dell'integrale su $RR$.
(*) forse esiste una condizione piu' debole sotto la quale questo avviene. Con l'assoluta integrabilita (integrabilita' in modulo) comunque siamo sicuri che tutto funziona
david_e anch'io ho fatto la tua pensata, ma mi blocco quando cerco di mettere in pratica quest'idea... se hai idea precisa di come fare, per favore, scrivimi tutti i passaggi
Guarda io e' piu' di un anno che non faccio un calcolo dei residui....
Comunque mi sembra che l'unico polo di interesse (se prendiamo la "semicirconferenza" nel primo e secondo quadrante) sia $i$ infatti $1$ e $-1$ hanno sicuramente residuo nullo visto che si tratta di singolarita' apparenti.
Quindi l'integrale dovrebbe valere:
$ 2 \pi i * res(f(x),i) $
(se mi ricordo bene la formula)
Per il residuo in $i$ la fregatura e' che si tratta di un polo doppio. Per cui bisogna usare la formula generale per calcolare i residui nei poli di ordine $n$.
Fatto questo (lo lascio fare a te perche' non mi ricordo la formula) poi basta aggiungere due o tre righe sul fatto che' l'integrale sul cammino "di ritorno" (quello non appoggiato su $RR$) credo che l'esercizio sia finito.
Ovviamente l'integranda e' integrabile su $RR$ per cui il valore trovato corrisponde con l'integrale.
Comunque mi sembra che l'unico polo di interesse (se prendiamo la "semicirconferenza" nel primo e secondo quadrante) sia $i$ infatti $1$ e $-1$ hanno sicuramente residuo nullo visto che si tratta di singolarita' apparenti.
Quindi l'integrale dovrebbe valere:
$ 2 \pi i * res(f(x),i) $
(se mi ricordo bene la formula)
Per il residuo in $i$ la fregatura e' che si tratta di un polo doppio. Per cui bisogna usare la formula generale per calcolare i residui nei poli di ordine $n$.
Fatto questo (lo lascio fare a te perche' non mi ricordo la formula) poi basta aggiungere due o tre righe sul fatto che' l'integrale sul cammino "di ritorno" (quello non appoggiato su $RR$) credo che l'esercizio sia finito.
Ovviamente l'integranda e' integrabile su $RR$ per cui il valore trovato corrisponde con l'integrale.
Per il valore principale aggiungo un esempio che a suo tempo fu per me illuminante.
Prendiamo la funzione:
$f(x)=x$
Ovviamente e' olomorfa su tutto $CC$ per cui ha residuo nullo in ogni punto. Da cui(*):
v.p. $ \int_{-oo}^{+oo} x dx = 0$
E in effetti:
$ lim_{R -> +oo} \int_{-R}^R x dx = 0 $
Perche':
$ \int_{-R}^R x dx = 0 $
per ogni $R$. Ovviamente:
$ \int_{-oo}^{+oo} x dx $
Non si sogna nemmeno lontanamente di essere nullo! (o di esistere!)
*** EDIT ***
Una dovuta precisazione:
(*) il cammino sulla semicirconferenza e' 0 per ogni R (provare per credere)
Prendiamo la funzione:
$f(x)=x$
Ovviamente e' olomorfa su tutto $CC$ per cui ha residuo nullo in ogni punto. Da cui(*):
v.p. $ \int_{-oo}^{+oo} x dx = 0$
E in effetti:
$ lim_{R -> +oo} \int_{-R}^R x dx = 0 $
Perche':
$ \int_{-R}^R x dx = 0 $
per ogni $R$. Ovviamente:
$ \int_{-oo}^{+oo} x dx $
Non si sogna nemmeno lontanamente di essere nullo! (o di esistere!)
*** EDIT ***
Una dovuta precisazione:
(*) il cammino sulla semicirconferenza e' 0 per ogni R (provare per credere)
Mi sa che ho risposto a cose che non conosco ancora...
Ma non si poteva fare come ho fatto io?
Per curiosità..
Ma non si poteva fare come ho fatto io?
Per curiosità..
grazie david_e per la delucidazione sul valore principale... Purtroppo mi permane il dubbio sulla risoluzione di quell'integrale... ad esso si aggiunge anche il seguente $ (1-sen(pi/2)x)/(x^3 - 1)^2 $ sempre tra meno e più infinito in dx. Questa tipologia mi risulta difficile a causa di quell'1... se fosse stato solo sen(qualcosa) o cos(qualcosa) non avrei avuto problemi a risolverlo... hai un'illuminazione anche su questo problema?
cavallipurosangue non metto in dubbio ciò che hai detto tu... cioè che quell'integrale converge, tuttavia vorrei saperne il valore preciso e un procedimento per arrivare a calcolarlo
Si questi sono esercizi in cui si usano dei teoremi di analisi complessa per risolvere tipi particolari di integrali. In particolare trovare il valore ESATTO di integrali impropri...
x Kroldar
Non ho capito, invece, perche' vuoi trasformare il coseno in esponenziale.
Prova ad applicare la formula per i residui in i e poi scrivi quello che non riesci a fare.
x Kroldar
Non ho capito, invece, perche' vuoi trasformare il coseno in esponenziale.
Prova ad applicare la formula per i residui in i e poi scrivi quello che non riesci a fare.
david_e ipotizziamo di prendere un semicerchio di centro 0 e raggio infinito che occupa il semipiano di C che comprende i numeri complessi con coefficiente dell'immaginario positivo... l'integrale esteso a questa semicirconferenza è la somma dell'integrale tra meno e più infinito lungo l'asse reale più l'integrale lungo la semicirconferenza. Se al numeratore ci fosse un'esponenziale potrei applicare il lemma di jordan che mi garantisce che l'integrale esteso alla semicirconferenza è nullo. Altrimenti come lo calcoli quell'integrale?
dirò di più... l'eventuale difficoltà è proprio calcolare l'integrale lungo la semicirconferenza, dato che gli unici due metodi che conosco, il lemma del grande cerchio e il lemma di jordan, non sono applicabili proprio per la presenza di funzioni goniometriche, se qualcuno conosce un modo per calcolare quell'integrale lungo la semicirconferenza il gioco è fatto
prova ad utilizzare come funzione
f(z)=(1-e^(2piz))/(z^4 - 1)^2
per dimostrare che l'integrale sulla semicirconferenza tende a zero puoi
spezzarlo in due termini:
int 1/(z^4 - 1)^2 e
int e^(2piz))/(z^4 - 1)^2
l'ultimo tende a zero per il lemma di jordan
per il primo se ho visto giusto
int 1/(z^4 - 1)^2 < pi R/(R^4-1)^2-->0 per R-->+inf
infatti sulla semicirconferenza è z= R*e^(i*theta)
quindi
int 1/(z^4 - 1)^2 =int[0 pi]i *R*e^(i*theta)/[R^4*e^(i*4theta)-1)]^2
da cui
|int[0 pi]i *R*e^(i*theta)/[R^4*e^(i*4theta)-1)]^2|
< int[0 pi]|i *R*e^(i*theta)/[R^4*e^(i*4theta)-1)]^2|<......
f(z)=(1-e^(2piz))/(z^4 - 1)^2
per dimostrare che l'integrale sulla semicirconferenza tende a zero puoi
spezzarlo in due termini:
int 1/(z^4 - 1)^2 e
int e^(2piz))/(z^4 - 1)^2
l'ultimo tende a zero per il lemma di jordan
per il primo se ho visto giusto
int 1/(z^4 - 1)^2 < pi R/(R^4-1)^2-->0 per R-->+inf
infatti sulla semicirconferenza è z= R*e^(i*theta)
quindi
int 1/(z^4 - 1)^2 =int[0 pi]i *R*e^(i*theta)/[R^4*e^(i*4theta)-1)]^2
da cui
|int[0 pi]i *R*e^(i*theta)/[R^4*e^(i*4theta)-1)]^2|
< int[0 pi]|i *R*e^(i*theta)/[R^4*e^(i*4theta)-1)]^2|<......
Gia'!
Si, non ci avevo pensato!
Allora spezza il coseno come sei solito fare. Saltano fuori due pezzi che convergono uno sopra e uno sotto (prendendo la semi-circonferenza su o giu'). (a sto punto avrai bisogno del residuo in $-i$ ovviamente).
Poi c'hai l'addendo rompi balle con l'1 lo studi a parte senza Jordan:
$ \int_{-oo}^{+oo} 1/(x^4-1)^2 $ (1)
E osservi che l'integrale converge anche su questo sottopezzo qui'. Infatti sulla semicirconferenza di raggio $R$ (non sul pezzo appoggiato sull'asse reale!) abbiamo:
$ z=R e^{i \theta} $
Chiamiamo questo insieme $\Gamma$ per capirci.
Per cui sostituendo nella (1) si ha:
$ \int_{\Gamma} 1/(z^4-1)^2 dz = \int_{0}^{pi} (iRe^{i\theta} ) /(R^4 e^{4i\theta} -1)^2 d\theta $
In oltre:
$ |1/(R^4 e^{4i\theta} -1)^2| \leq 1/R^3 $ (ad esempio) (non sono stato a fare la stima doc)
Da cui:
$ lim_{R -> +oo} \int_{0}^{pi} (iRe^{i\theta} )/(R^4 e^{4i\theta} -1)^2 d\theta = 0$
Quindi sulla (1) "sopravvive" soltanto il pezzo che serve (sull'asse $RR$).
*** EDIT ***
Corretto il senso di una disuguaglianza
*** EDIT II ***
Dimenticato un pezzo in un integrale
*** EDIT SUCCESSIVI ***
Si ho fatto un po di pastrocchi nella fretta.... (potrebbero esserci altri errori)
Si, non ci avevo pensato!
Allora spezza il coseno come sei solito fare. Saltano fuori due pezzi che convergono uno sopra e uno sotto (prendendo la semi-circonferenza su o giu'). (a sto punto avrai bisogno del residuo in $-i$ ovviamente).
Poi c'hai l'addendo rompi balle con l'1 lo studi a parte senza Jordan:
$ \int_{-oo}^{+oo} 1/(x^4-1)^2 $ (1)
E osservi che l'integrale converge anche su questo sottopezzo qui'. Infatti sulla semicirconferenza di raggio $R$ (non sul pezzo appoggiato sull'asse reale!) abbiamo:
$ z=R e^{i \theta} $
Chiamiamo questo insieme $\Gamma$ per capirci.
Per cui sostituendo nella (1) si ha:
$ \int_{\Gamma} 1/(z^4-1)^2 dz = \int_{0}^{pi} (iRe^{i\theta} ) /(R^4 e^{4i\theta} -1)^2 d\theta $
In oltre:
$ |1/(R^4 e^{4i\theta} -1)^2| \leq 1/R^3 $ (ad esempio) (non sono stato a fare la stima doc)
Da cui:
$ lim_{R -> +oo} \int_{0}^{pi} (iRe^{i\theta} )/(R^4 e^{4i\theta} -1)^2 d\theta = 0$
Quindi sulla (1) "sopravvive" soltanto il pezzo che serve (sull'asse $RR$).
*** EDIT ***
Corretto il senso di una disuguaglianza
*** EDIT II ***
Dimenticato un pezzo in un integrale
*** EDIT SUCCESSIVI ***
Si ho fatto un po di pastrocchi nella fretta.... (potrebbero esserci altri errori)
Scusa Piera non avevo visto che avevi gia' risposto...........
quando poni z=R e^(i theta)
devi poi fare il differenziale
e viene dz = R*i*e^(i theta) d theta
poi l'integrale è tra 0 e pi se si prende la semicirconferenza superiore
devi poi fare il differenziale
e viene dz = R*i*e^(i theta) d theta
poi l'integrale è tra 0 e pi se si prende la semicirconferenza superiore
Si infatti mi era venuto il dubbio, ma nel parametrizzare la circonferenza non dovrebbe saltare fuori solo $R$?
Sugli estremi hai certamente ragione. Ora provvedo subito ad aggiustarli.
Sugli estremi hai certamente ragione. Ora provvedo subito ad aggiustarli.
non ho capito cosa intendi
quando derivi rispetto a theta hai un esponenziale e^(i theta) e derivando ottieni
i* e^(i theta)
quando derivi rispetto a theta hai un esponenziale e^(i theta) e derivando ottieni
i* e^(i theta)
Quando devo fare un integrale curvilineo:
$ \int_\Gamma f(x,y) $
Se $\Gamma$ e' una circonferenza la si parametrizza e viene fuori:
$ \int_{0}^{2\pi} f ( R cos \theta, R sin \theta) R d \theta $
Perche' lo "Jacobiano" della trasformazione da una linea all'altra e':
$ \| (dvec x)/(d\theta) \| = R $
Boh magari sto' dando i numeri....
$ \int_\Gamma f(x,y) $
Se $\Gamma$ e' una circonferenza la si parametrizza e viene fuori:
$ \int_{0}^{2\pi} f ( R cos \theta, R sin \theta) R d \theta $
Perche' lo "Jacobiano" della trasformazione da una linea all'altra e':
$ \| (dvec x)/(d\theta) \| = R $
Boh magari sto' dando i numeri....
quando derivi rispetto a theta hai un esponenziale e^(i theta) e derivando ottieni
i* e^(i theta)
R è costante non è un integrale doppio
i* e^(i theta)
R è costante non è un integrale doppio
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