Integrale
Non riesco a risolvere l'integrale tra meno e più infinito di $ (1-cos(2pix))/(x^4 - 1)^2 $ ovviamente in dx. Questa funzione è continua su tutto R. Di solito quando ho una funzione goniometrica al numeratore la trasformo in un'esponenziale e alla fine prendo solo la parte reale o solo il coefficiente dell'immaginario,però c'è quell'1 che dà fastidio e non riesco a procedere. Un'altra domanda... nel caso di una funzione continua su tutto R, l'integrale di questa funzione tra meno e più infinito può essere definito integrale a valor principale oppure affinché sia tale occorre che la funzione abbia almeno un punto di discontinuità in R?
Risposte
Forse la parola "Jacobiano" ha un po' fuorviato...
No io parlavo di integrali di linea. Per passare dall'integrale di linea alla parametrizzazione si prende il modulo del vettore velocita'... Quindi $R$ nel caso di circonferenze (o pezzi di circonferenze) parametrizzate sui radianti.
Non mi convince quella sostituzione del "dz". Anche perche' il dz rappresenta una misura di "superficie" nel senso che in realta':
" dz = d Re d Im "
(tutto fra virgolette visto che non e' proprio un discorso formalmente corretto questo)
No io parlavo di integrali di linea. Per passare dall'integrale di linea alla parametrizzazione si prende il modulo del vettore velocita'... Quindi $R$ nel caso di circonferenze (o pezzi di circonferenze) parametrizzate sui radianti.
Non mi convince quella sostituzione del "dz". Anche perche' il dz rappresenta una misura di "superficie" nel senso che in realta':
" dz = d Re d Im "
(tutto fra virgolette visto che non e' proprio un discorso formalmente corretto questo)
se prendi il libro variabili complesse della shaum's
oppure il libro di gilardi analisi 3 (ad esempio pagina 211 in alto)
vedi che quello che ho fatto è corretto
oppure il libro di gilardi analisi 3 (ad esempio pagina 211 in alto)
vedi che quello che ho fatto è corretto
Ok. Allora vuol dire che mi sbagliavo! 
il discorso è che quando
z= R*e^(i theta)
R non è una variabile, ma un numero arbitrario
l'unica variabile è theta, infatti quando si percorre la semicirconferenza R è fisso mentre theta varia
quindi quando si fa il differenziale si deve derivare solo rispetto a theta ottenendo
dz = R*i*e^(i theta)
in generale, se z = g(r) allora
int f(z)dz = int f(g(r))*g'(r) *dr
z= R*e^(i theta)
R non è una variabile, ma un numero arbitrario
l'unica variabile è theta, infatti quando si percorre la semicirconferenza R è fisso mentre theta varia
quindi quando si fa il differenziale si deve derivare solo rispetto a theta ottenendo
dz = R*i*e^(i theta)
in generale, se z = g(r) allora
int f(z)dz = int f(g(r))*g'(r) *dr
Si si mi hai convinto! 
Poi sono andato a vedere sul Gilardi.... effettivamente io sbagliavo: chissa' perche' mi ricordavo che ci voleva il modulo (come sugli integrali di linea).
](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
In effetti come dicevo io venivano fuori delle cose assurde. Ad esempio l'integrale di 1 su una circonferenza qualunque veniva $2 \pi R$ quando dovrebbe fare 0 visto che 1 e' olomorfa. In pratica ho fuso insieme gli integrali su cammini in $CC$ con quelli di linea, mentre, in realta', sono due cose ben distinte!
Alla fine si impara sempre qualche cosa di nuovo: avendo sempre maggiorato in modulo (sono andato anche a pescarmi i vecchi esercizi dell'anno scorso) non mi e' mai capitato di riflettere sulla differenza fra integrare su una linea una funzione di due variabili e una complessa di una sola variabile: la differenza e' proprio nel modulo!
Grazie Piera per il chiarimento!
PS: Ho corretto il mio post di prima.
Poi sono andato a vedere sul Gilardi.... effettivamente io sbagliavo: chissa' perche' mi ricordavo che ci voleva il modulo (come sugli integrali di linea).
In effetti come dicevo io venivano fuori delle cose assurde. Ad esempio l'integrale di 1 su una circonferenza qualunque veniva $2 \pi R$ quando dovrebbe fare 0 visto che 1 e' olomorfa. In pratica ho fuso insieme gli integrali su cammini in $CC$ con quelli di linea, mentre, in realta', sono due cose ben distinte!
Alla fine si impara sempre qualche cosa di nuovo: avendo sempre maggiorato in modulo (sono andato anche a pescarmi i vecchi esercizi dell'anno scorso) non mi e' mai capitato di riflettere sulla differenza fra integrare su una linea una funzione di due variabili e una complessa di una sola variabile: la differenza e' proprio nel modulo!
Grazie Piera per il chiarimento!
PS: Ho corretto il mio post di prima.
Ringrazio tutti per la collaborazione... in ogni caso mi sono documentato e quindi ora vorrei tirare le somme su quest'integrale, la cui risoluzione non è affatto difficile. Iniziamo col considerare una semicirconferenza di raggio r > 0 poggiata sull'asse reale con centro nel punto 0; otteniamo così un semicerchio. Integrando la funzione $ (1-cos(2pix))/(x^4 -1)^2 $ su questo semicerchio notiamo che l'integrale si può spezzare in due: uno lungo un intervallo dell'asse reale e uno lungo la semicirconfernza gamma. Passando al limite per r ---> infinito l'integrale lungo gamma è infinitesimo essendo il grado del denominatore della funzione di grado maggiore di 2 rispetto a quello del denominatore; l'integrale lungo l'asse reale è invece l'integrale cercato. Esso è uguale a $ 2pij $ per la somma dei residui della funzione nei punti aventi coefficiente dell'immaginario positivo più eventualmente la metà dei residui nei punti di discontinuità dell'asse reale (lemma del piccolo cerchio). Gli zeri del denominatore sono -1,1,-j,j. -1 e 1, pur essendo zeri del denominatore, sono discontinuità eliminabili; -j ha parte immaginaria negativa. Ne segue che quell'integrale è uguale a $ 2pij $ per il residuo della funzione nel punto j. Ecco risolto semplicemente quell'integrale che a prima vista mi era sembrato difficile.
Si ma stai attento che quando spezzi l'integrale hai un pezzo del coseno da integrare sul cammino che ha la semicirconferenza dall'altra parte!
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