Integrale (2 soluzioni si cerca quella corretta o consigli)
sapreste aiutarmi col seguente integrale:
$intlgxsqrt((1-log^2x)/(x^2(1+log^2x)))dx$.
io sono riuscito a svolgerlo sino a
$1/2intsqrt((1-t^2)/(1+t^2))dt$ con cambio di variabile lgx=t, una volta che ho portato fuori radice x^2 e mi sono ricondotto alla derivata di log^x-
soltanto che ora non so cm proseguire.
una volta tanto che volevo fare tutto da solo....
$intlgxsqrt((1-log^2x)/(x^2(1+log^2x)))dx$.
io sono riuscito a svolgerlo sino a
$1/2intsqrt((1-t^2)/(1+t^2))dt$ con cambio di variabile lgx=t, una volta che ho portato fuori radice x^2 e mi sono ricondotto alla derivata di log^x-
soltanto che ora non so cm proseguire.
una volta tanto che volevo fare tutto da solo....
Risposte
mah... in genere a quel punto si pone $t=cos\ s$, per eliminare la radice. vedi un po' che cosa ottieni, nel caso riposta. ciao!
scusami, può darsi che la mia testa in questo momento non sia a posto (a proposito, mi sono "divertita" a calcolare diversi limiti della derivata prima dell'altro topic, non te li ho scritti perché ero in attesa di una tua risposta!)...
se il testo dell'integrale è giusto e tu hai fatto la sostituzione che hai detto, quel logaritmo fuori dalla radice che fine ha fatto? è comparso 1/2 al suo posto? ciao.
se il testo dell'integrale è giusto e tu hai fatto la sostituzione che hai detto, quel logaritmo fuori dalla radice che fine ha fatto? è comparso 1/2 al suo posto? ciao.
"adaBTTLS":
scusami, può darsi che la mia testa in questo momento non sia a posto (a proposito, mi sono "divertita" a calcolare diversi limiti della derivata prima dell'altro topic, non te li ho scritti perché ero in attesa di una tua risposta!)...
se il testo dell'integrale è giusto e tu hai fatto la sostituzione che hai detto, quel logaritmo fuori dalla radice che fine ha fatto? è comparso 1/2 al suo posto? ciao.
non ho ben capito la sostituzione che ora dovrei fare
ti ringrazio per l'aiuto...con i limiti non ho moolta dimistichezza. il grafico alla fine è venuto. ho confrontato con il disegno del prof e approssimativamente ci assomigliava
ti ringrazio. hai fatto bene a non postare. con derivate prime e seconde me la so cavare il problema sta nello studio del segno e dei domini. e con questo maledetto integrale. logx fuori di radice l'ho diviso per x( portata fuori radice) dopodichè ho moltiplicato e diviso per 2 in modo tale da ottenere la derivata di log^2x-ho sbagliato???
ciao! scusa non capisco...ma che sostituzione hai fatto? $t=log\ x$ oppure $t=(log\ x)^2$?
ah poi un'altra cosa: io purtroppo non riesco a visualizzare bene le radici di frazioni, mi puoi dire se quelle radici includono anche il denominatore o solo il numeratore?
[size=75](edit)(includono anche il denominatore - ci potevo arrivare da solo guardando il codice...ma non m'era venuto in mente!
bravo!)[/size]
ah poi un'altra cosa: io purtroppo non riesco a visualizzare bene le radici di frazioni, mi puoi dire se quelle radici includono anche il denominatore o solo il numeratore?
[size=75](edit)(includono anche il denominatore - ci potevo arrivare da solo guardando il codice...ma non m'era venuto in mente!
bravo!)[/size]
se $log x = t$, $1/x dx = dt$, quindi è "sistemato" quell'$1/x^2$ che era sotto radice, ma il $log x$ che era fuori non è diventato $t$... ? ciao.
"adaBTTLS":
se $log x = t$, $1/x dx = dt$, quindi è "sistemato" quell'$1/x^2$ che era sotto radice, ma il $log x$ che era fuori non è diventato $t$... ? ciao.
forse starò sbagliando. ho sostituito logx=t.
fuori radice ho logx/x pertanto per rifarmi alla derivata di log^x ( se non sto sbagliando) moltiplico per 2 , quindi divido fuori radice.
adesso si capisce la perplessità di dissonance! se fai la sostituzione $t=logx$, $dt$ va sostituito con la derivata di $logx$ fatta rispetto ad $x$ e moltiplicata per $dx$. qual è la derivata di $logx$ ? se convieni con me che è $1/x$... non farmi riscrivere la stessa cosa... ciao.
"adaBTTLS":
adesso si capisce la perplessità di dissonance! se fai la sostituzione $t=logx$, $dt$ va sostituito con la derivata di $logx$ fatta rispetto ad $x$ e moltiplicata per $dx$. qual è la derivata di $logx$ ? se convieni con me che è $1/x$... non farmi riscrivere la stessa cosa... ciao.
si, conveniamo. ma non riesco a svolgerlo a partire da ciò che trovo sotto radice dopo la sostituzione...
finora ci siamo occupati solo di non commettere errori, non che sia la migliore sostituzione possibile... io non l'ho svolto, però proverei con il quadrato del logaritmo, o forse, ancora meglio, con tutta la parentesi del denominatore uguagliata a t...
"adaBTTLS":
finora ci siamo occupati solo di non commettere errori, non che sia la migliore sostituzione possibile... io non l'ho svolto, però proverei con il quadrato del logaritmo, o forse, ancora meglio, con tutta la parentesi del denominatore uguagliata a t...
non sto riuscendo con il calcolo di questo integrale. assurdo. addirittura un programma di calcolo integrale online non mi aiuta con la risoluzione...
con la sostituzione suggerita, viene facilmente la prima parte.... ma poi si dovrà fare una seconda sostituzione:
$t=1+log^2(x)$
$dt=2logx*1/x$
$log^2(x)=t-1$
$1-log^2(x)=1-t+1=2-t$
sostituisco:
$1/2*\int\(2*log x)*(1/x)*dx*sqrt((1-log^2(x))/(1+log^2(x)))=1/2*\int\dt*sqrt((2-t)/t)=$
A questo punto fai un’altra sostituzione: $sqrt((2-t)/t)=u$ -> derivando $-sqrt(t/(2-t))dt=du$ e quindi
$dt=-sqrt((2-t)/t)*du=-u*du$
L’integrale diventa $int\(u*(-u))du=-\int\u^2*du=-1/3*u^3+C$
Tornando indietro con le sostituzioni si ha $-1/3*((2-t)/t)^(3/2) + C=-1/3*((1-log^2(x))/(1+log^2(x)))^(3/2) +C$
ciao. spero di non aver commesso errori... ricontrolla!
$t=1+log^2(x)$
$dt=2logx*1/x$
$log^2(x)=t-1$
$1-log^2(x)=1-t+1=2-t$
sostituisco:
$1/2*\int\(2*log x)*(1/x)*dx*sqrt((1-log^2(x))/(1+log^2(x)))=1/2*\int\dt*sqrt((2-t)/t)=$
A questo punto fai un’altra sostituzione: $sqrt((2-t)/t)=u$ -> derivando $-sqrt(t/(2-t))dt=du$ e quindi
$dt=-sqrt((2-t)/t)*du=-u*du$
L’integrale diventa $int\(u*(-u))du=-\int\u^2*du=-1/3*u^3+C$
Tornando indietro con le sostituzioni si ha $-1/3*((2-t)/t)^(3/2) + C=-1/3*((1-log^2(x))/(1+log^2(x)))^(3/2) +C$
ciao. spero di non aver commesso errori... ricontrolla!
"adaBTTLS":
con la sostituzione suggerita, viene facilmente la prima parte.... ma poi si dovrà fare una seconda sostituzione:
$t=1+log^2(x)$
$dt=2logx*1/x$
$log^2(x)=t-1$
$1-log^2(x)=1-t+1=2-t$
sostituisco:
$1/2*\int\(2*log x)*(1/x)*dx*sqrt((1-log^2(x))/(1+log^2(x)))=1/2*\int\dt*sqrt((2-t)/t)=$
A questo punto fai un’altra sostituzione: $sqrt((2-t)/t)=u$ -> derivando $-sqrt(t/(2-t))dt=du$ e quindi
$dt=-sqrt((2-t)/t)*du=-u*du$
L’integrale diventa $int\(u*(-u))du=-\int\u^2*du=-1/3*u^3+C$
Tornando indietro con le sostituzioni si ha $-1/3*((2-t)/t)^(3/2) + C=-1/3*((1-log^2(x))/(1+log^2(x)))^(3/2) +C$
ciao. spero di non aver commesso errori... ricontrolla!
ricontrollerò subito. grazie adaBttls...
"adaBTTLS":
con la sostituzione suggerita, viene facilmente la prima parte.... ma poi si dovrà fare una seconda sostituzione:
$t=1+log^2(x)$
$dt=2logx*1/x$
$log^2(x)=t-1$
$1-log^2(x)=1-t+1=2-t$
sostituisco:
$1/2*\int\(2*log x)*(1/x)*dx*sqrt((1-log^2(x))/(1+log^2(x)))=1/2*\int\dt*sqrt((2-t)/t)=$
A questo punto fai un’altra sostituzione: $sqrt((2-t)/t)=u$ -> derivando $-sqrt(t/(2-t))dt=du$ e quindi
$dt=-sqrt((2-t)/t)*du=-u*du$
L’integrale diventa $int\(u*(-u))du=-\int\u^2*du=-1/3*u^3+C$
Tornando indietro con le sostituzioni si ha $-1/3*((2-t)/t)^(3/2) + C=-1/3*((1-log^2(x))/(1+log^2(x)))^(3/2) +C$
ciao. spero di non aver commesso errori... ricontrolla!
non vorrei aver sbagliato: mi risulta $-arctg(sqrt((1-log^2x)/(1+log^2x)))+(1/2)sqrt(1-log^4x)+c$
quello che hai scritto fa pensare che è stato risolto per parti... che vuoi che ti dica?
non mi hai detto se hai ricontrollato i passaggi proposti da me (ricontrolla significa appunto questo, non vedi se corrisponde il risultato...)
a proposito, quello che hai scritto è il risultato del libro... o altro ?
se è quello che viene a te, ti conviene scriver i passaggi, così eventualmente qualcuno ti può dire se va bene o se c'è qualche errore...
ciao.
non mi hai detto se hai ricontrollato i passaggi proposti da me (ricontrolla significa appunto questo, non vedi se corrisponde il risultato...)
a proposito, quello che hai scritto è il risultato del libro... o altro ?
se è quello che viene a te, ti conviene scriver i passaggi, così eventualmente qualcuno ti può dire se va bene o se c'è qualche errore...
ciao.
"adaBTTLS":
quello che hai scritto fa pensare che è stato risolto per parti... che vuoi che ti dica?
non mi hai detto se hai ricontrollato i passaggi proposti da me (ricontrolla significa appunto questo, non vedi se corrisponde il risultato...)
a proposito, quello che hai scritto è il risultato del libro... o altro ?
se è quello che viene a te, ti conviene scriver i passaggi, così eventualmente qualcuno ti può dire se va bene o se c'è qualche errore...
ciao.
ho proceduto come mi hai detto...però poi ho svolto in questo modo perchè avevo già iniziato( non è del libro e ahimè nn vi sono risultati...per questo non so se è giusto):
$1/2int(sqrt((1-u)/(1+u)))du$ dove ho posto log^2x =u.
adesso ho effettuato la sostituzione ( forse folle ma mi semplifica parecchio):
$sqrt((1-u)/(1+u))=t->1-u=t^2(1+u)->f(t)=(1-t^2)/(1+t^2) $ e d(f(t))=$-4t/(1-t^2)^2$ spero non vi siano errori di calcolo nè di aver confuso le variabili:)
ho sostituito:
$intsqrt((1-u)/(1+u))du=intt((-4t)/(1+t^2)^2)dt$ ho portato fuori il 4 aggiunto e sottratto 1 per rifarmi al quel che è contenuto tra parentesi al denominatore:
$-4int((t^2+1-1)/(1-t^2)^2)dt=-4arctgt+4intdt/(1+t^2)^2$
poi ho trovato il secondo integrale nella tavola degli integrali e sono arrivato al risultato:
$-2arctgt+2t/(1+t^2)+c$
con le sostituzioni ho ottenuto quanto scritto nel mex precedente...dovrebbe essere corretto a meno che io non sia convincente...
nei passaggi che hai scritto non capisco f(t).... e poi non mi spiego l'alternanza di segni al denominatore (a volte (1+t^2), a volte (1-t^2))
io comunque ho provato a svolgere i calcoli come mi ricordo io, con la sostituzione suggerita da te, senza introdurre f(t), e non ho ottenuto nulla di significativo.
io comunque ho provato a svolgere i calcoli come mi ricordo io, con la sostituzione suggerita da te, senza introdurre f(t), e non ho ottenuto nulla di significativo.
"adaBTTLS":
nei passaggi che hai scritto non capisco f(t).... e poi non mi spiego l'alternanza di segni al denominatore (a volte (1+t^2), a volte (1-t^2))
io comunque ho provato a svolgere i calcoli come mi ricordo io, con la sostituzione suggerita da te, senza introdurre f(t), e non ho ottenuto nulla di significativo.
per i segni al deominatore è sempre 1+t^2...ho sbagliato...ops. per quanto riguarda f(t) è per il cambio di variabile effettuato..non ero effettivamente sicuro del risultato ma i calcolatori integrali on line nonmi hanno dato soluzioni ...on credo di aver fatto errori di calcolo, bisogna vedere se effettivamente è possibile svolgere nel modo che ho proposto io..perdonami ma ho svolto integrali per circa 12 ore e ad un certo punto anche le cose più ovvie mi sono apparse complicatissime ( vedi altro post!!!) le soluzioni davanti agli occhi...la rabbia perchè perdere un pomeriggio con un solo integrale è davvero il max;) provo a svolgere come hai svolto tu, anche se non dubito del tuo risultato. non capisco come mai ci risultino diversi...mmmm
grazie per l'aiuto
mi farò sentire tra poco, tempo di svolgere come hai svolto tu.alex
adaBTTLS, sono fermo alla derivata della radice quadrata. a me risulta $u=sqrt((2-t)/t)$ e du=$1/(t^2(sqrt((2-t)/t)))dt$
forse ho sbagliato i calcoli ma per la funzione composta a me risulta così...
forse ho sbagliato i calcoli ma per la funzione composta a me risulta così...
sì, purtroppo temo di essermi dimenticata un $t^2$...
mi dispiace allora non funzione nemmeno così... ciao.
mi dispiace allora non funzione nemmeno così... ciao.
forse alex si risolve con la sostituzione $u=(2-t)/t$... io continuo, ma intanto prova anche tu a fare i conti... ciao.
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