Integrale
Ragazzi, ho bisogno per l'ennesima volta di un vostro aiuto.
Allora, l'esercizio mi chiede..
Determinare la primitiva nulla in $x_0 = 2$ della funzione:
$(log(x+2))/x^2$
Devo calcolare l'integrale, giusto? E cose si fa?
Ho provato con la regola di sostituzione ( sia con il logaritmo che con il denominatore ) ma non concludo nulla. Ho provato con l'integrazione per parti ma mi complico tanto la vita. Non ci sono gli estremi per una decomposizione in fratti semplici.
Come si calcola questo maledetto integrale?!
Allora, l'esercizio mi chiede..
Determinare la primitiva nulla in $x_0 = 2$ della funzione:
$(log(x+2))/x^2$
Devo calcolare l'integrale, giusto? E cose si fa?
Ho provato con la regola di sostituzione ( sia con il logaritmo che con il denominatore ) ma non concludo nulla. Ho provato con l'integrazione per parti ma mi complico tanto la vita. Non ci sono gli estremi per una decomposizione in fratti semplici.
Come si calcola questo maledetto integrale?!
Risposte
Sinceramente avevo pensato subito alla derivata del logaritmo, ma non trovando il $2x$ al numeratore ci ho rinunciato.
Non ho pensato che potesse essere la derivata di $-1/x$
Solo che, la comprensione dell'esercizio è esatta?! Risolvo quell'integrale, e poi calcolo il limite con $x->2$. Giusto?
Non ho pensato che potesse essere la derivata di $-1/x$
Solo che, la comprensione dell'esercizio è esatta?! Risolvo quell'integrale, e poi calcolo il limite con $x->2$. Giusto?
No dicevo solo che sono stato stupido a non pensare alla derivata di $-1/x$ ! Tutto qua 
Ora svolgo l'integrale e te lo scrivo qui.
Ora svolgo l'integrale e te lo scrivo qui.
Ti scrivo il procedimento:
$int (log(x+2))/x^2 dx$
Integrazione per parti ->
$-1/x * log(x+2) + int 1/(x(x+2)) dx$ $=$ $-(log(x+2))/x + int 1/(x(x+2)) dx$
Decomposizione in fratti semplici ( ti scrivo già il risultato, trovando già A e B ):
$-(log(x+2))/x + 1/2*int 1/x dx - 1/2*int 1/(x+2) dx$ = $=$ $-(log(x+2))/x + 1/2*logx - 1/2*log(x+2) + C.$
$int (log(x+2))/x^2 dx$
Integrazione per parti ->
$-1/x * log(x+2) + int 1/(x(x+2)) dx$ $=$ $-(log(x+2))/x + int 1/(x(x+2)) dx$
Decomposizione in fratti semplici ( ti scrivo già il risultato, trovando già A e B ):
$-(log(x+2))/x + 1/2*int 1/x dx - 1/2*int 1/(x+2) dx$ = $=$ $-(log(x+2))/x + 1/2*logx - 1/2*log(x+2) + C.$
TeM ho un esame tra 2 giorni, vado nel pallone non appena non trovo l'idea giusta.
Psicologicamente sono molto labile!
Non dirmi niente, potresti spiegarti meglio? Non ho ben capito.
La primitiva è il risultato dell'integrale, no? Oppure tra le funzioni trovate devo trovare una che va a 0 se la x va a 2?
Psicologicamente sono molto labile!
Non dirmi niente, potresti spiegarti meglio? Non ho ben capito.
La primitiva è il risultato dell'integrale, no? Oppure tra le funzioni trovate devo trovare una che va a 0 se la x va a 2?
Devi sistemare la costante $c$ in modo che $F(2)=0$, giusto TeM?
Direi che l'unica primitiva che rispetta quell'equazione è il logaritmo, ma non del tutto:
$log2$ $~~\ 0.6$
No?
$log2$ $~~\ 0.6$
No?
Ah.. Ma per sistemare la $c$ intendete dargli un valore reale che poi renda quella primitiva $=0$ ?
La matematica è facile: è questo che più di tutto sconcerta lo studente.
Aaah, capito. Ma viene un risultato un po' particolare
$(2 * log|2| - 4*log4)/4$ $= C$
Posso approssimare i valori del logaritmo e mettere il segno di simile al posto dell'uguale?
$(2 * log|2| - 4*log4)/4$ $= C$
Posso approssimare i valori del logaritmo e mettere il segno di simile al posto dell'uguale?
Volevo anche applicare la proprietà dei logaritmi, dividendo gli argomenti, ma come mi comporto con le costanti che moltiplicano?
$(2*4*log(2/(2^2)))/4$ $=$ $C.$
Così?
$(2*4*log(2/(2^2)))/4$ $=$ $C.$
Così?
Ah, ora ho capito. Hai fatto sì che ti trovassi due logaritmi identici, così da poter lavorare semplicemente con le costanti.
Capito.
Quindi, ogni qual volta mi chiede la primitiva nulla di una funzione in un determinato punto: svolgo l'integrale e cerco quel valore della costante che rende nulla la primitiva trovata. Tutto giusto ?
Capito.
Quindi, ogni qual volta mi chiede la primitiva nulla di una funzione in un determinato punto: svolgo l'integrale e cerco quel valore della costante che rende nulla la primitiva trovata. Tutto giusto ?
Il valore della $c$ ottenuta è la primitiva in $x_0=2$.
Se invece mi avesse chiesto la sommabilità di quella funzione nell intervallo $[2, +oo[$ come mi sarei dovuto comportare? Limite di x tendente a $+oo$ dell' integrale definito da 2 a x di quella funzione nell incognita t?
Se invece mi avesse chiesto la sommabilità di quella funzione nell intervallo $[2, +oo[$ come mi sarei dovuto comportare? Limite di x tendente a $+oo$ dell' integrale definito da 2 a x di quella funzione nell incognita t?
E' sommabile solo se il limite esiste ed è finito, giusto?
Ora devo calcolare la sommabilità di:
$(x^2*logx)/(1+x^4)$
Appena ci riesco posto il procedimento e mi dite cosa ho sbagliato, per favore.
$(x^2*logx)/(1+x^4)$
Appena ci riesco posto il procedimento e mi dite cosa ho sbagliato, per favore.
Ah sì, è $[2, +oo)$.
Ci sto lavorando un po', prima però ti voglio chiedere se l'input va bene:
$lim_{n->+oo} int_2^x$ $(t^2*logt)/(1+t^4) dt$
Sostituzione -> $t^2 = y$ e $dt = 2y dy$
$lim_{n->+oo} int_2^x$ $ y*logsqrt(y) * (2y)/(1+y^2) dy$
$lim_{n->+oo} int_2^x$ $(t^2*logt)/(1+t^4) dt$
Sostituzione -> $t^2 = y$ e $dt = 2y dy$
$lim_{n->+oo} int_2^x$ $ y*logsqrt(y) * (2y)/(1+y^2) dy$
Cioè in parole povere mi stai dicendo che quell'integrale non si può risolvere e quindi devo limitarmi a fare il limite?!
Caspita. La cosa dovrebbe anche farmi piacere perchè non riuscivo proprio a trovare il bandolo della matassa in quell'integrale, ma ti chiedo una cosa: come faccio a capire che un integrale non ha soluzione indefinita?
In effetti su Wolfram Alpha il risultato di quell'integrale rientra nel campo dei numeri complessi.
Fra poco rileggo ciò che hai scritto e ti scrivo se non mi è chiara qualcosa.
Fra poco rileggo ciò che hai scritto e ti scrivo se non mi è chiara qualcosa.
Cioè devo, innanzitutto, dimostrare che quella funzione è positiva qualsiasi $x$ prenda nell'intervallo?
Senò non posso calcolarne la sommabilità?
Senò non posso calcolarne la sommabilità?
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