Integrabilità secondo Riemann
Buongiorno, avrei bisogno di sapere se è giusto questo esercizio:
Ho fatto un Plot in Mathematica, inizialmente pensavo a dovermi rivolgere al Teorema di Vitali-Lebesgue, ma ho potuto osservare che la funzione è continua. Pertanto usando un altro teorema che mi dice che se la funzione è continua in un intervallo $[a, b]$ allora è integrabile su $[a, b]$. Può essere corretto? Questo esercizio era nella parte di esercizi riguardanti la misura di Lebesgue e integrabili di Lebesgue.
Si considerino le funzioni $sgn(x)$ e $s(x)$ definite da
$"sgn"(x) = \{(1, ", se " x>0),(0, ", se " x=0),(-1, ", se " x<0):}$
$ s(x) = \{(sin(1/x), ", se " x!=0),(0, ", se " x=0):}$
La funzione composta $"sgn"(s(x))$ è Riemann-integrabile in $[-1, 1]$? Perché?
Ho fatto un Plot in Mathematica, inizialmente pensavo a dovermi rivolgere al Teorema di Vitali-Lebesgue, ma ho potuto osservare che la funzione è continua. Pertanto usando un altro teorema che mi dice che se la funzione è continua in un intervallo $[a, b]$ allora è integrabile su $[a, b]$. Può essere corretto? Questo esercizio era nella parte di esercizi riguardanti la misura di Lebesgue e integrabili di Lebesgue.
Risposte
Non mi pare proprio che la funzione composta sia continua.
Lascia stare i programmi che fanno i grafici, ragiona con la tua testa.
"Frostman":
Mmmm, bello...
Qual è la definizione di funzione?
In effetti è vero ora che ci penso, non è continua per definizione la funzione $sgn(x)$. Per valori prossimi compresi tra (0,1), la funzione $sgn(sin(1/x))$ varia spesso tra $1$ e $-1$ mentre da $1$ (e rispettivamente $-1$) la funzione $sgn(sin(1/x))$ dovrebbe essere continua.
Non si capisce la tua motivazione... Dici bene.
Ad ogni modo, ciò che più mi preme e mi preoccupa è che uno studente che parla di integrazione alla Lebesgue possa scambiare quel diagramma ottenuto dal calcolatore per il diagramma del grafico di una funzione.
Ad ogni modo, ciò che più mi preme e mi preoccupa è che uno studente che parla di integrazione alla Lebesgue possa scambiare quel diagramma ottenuto dal calcolatore per il diagramma del grafico di una funzione.
Non so in cosa ci sia di incomprensivo nella mia risposta precedente, provo a spiegarmi meglio.
Mi sono reso conto che effettivamente la funzione $sgn(sin(1/x))$ NON è continua. Posso constatare che da un certo valore di $x$ positivo la funzione $sgn(sin(1/x))$ assume sempre valore $1$ mentre per lo stesso valore assunto prima ma di segno opposto, la funzione $sgn(sin(1/x))$ assume sempre valore $-1$. Prima di quel valore la funzione assume valori $0$, $-1$ e $1$.
Per cui possiamo dire che la funzione NON è continua, ma presenta delle discontinuità.
Per quanto riguarda il grafico, ci è stato insegnato al corso di Analisi II di usare quel comando (insieme ad altri come ad esempio, calcolare divergenza/rotore, lunghezza di curve, aree di superfici,...)
Mi sono reso conto che effettivamente la funzione $sgn(sin(1/x))$ NON è continua. Posso constatare che da un certo valore di $x$ positivo la funzione $sgn(sin(1/x))$ assume sempre valore $1$ mentre per lo stesso valore assunto prima ma di segno opposto, la funzione $sgn(sin(1/x))$ assume sempre valore $-1$. Prima di quel valore la funzione assume valori $0$, $-1$ e $1$.
Per cui possiamo dire che la funzione NON è continua, ma presenta delle discontinuità.
Per quanto riguarda il grafico, ci è stato insegnato al corso di Analisi II di usare quel comando (insieme ad altri come ad esempio, calcolare divergenza/rotore, lunghezza di curve, aree di superfici,...)
Ah... E la definizione di funzione che ti hanno insegnato alle scuole?
L'hai rimossa?
Perché il diagramma ottenuto non è quello di un grafico di funzione?
L'hai rimossa?
Perché il diagramma ottenuto non è quello di un grafico di funzione?
Una funzione è una relazione tra due insiemi, la quale associa ad ogni elemento del primo insieme (dominio) uno ed un solo elemento del secondo insieme (codominio).
Per quanto riguarda la seconda domanda, non capisco, per esempio la funzione $sin(x)$, Mathematica la disegna pari pari ad una sinusoide, non mi pare che abbia altre forme...
Per quanto riguarda la seconda domanda, non capisco, per esempio la funzione $sin(x)$, Mathematica la disegna pari pari ad una sinusoide, non mi pare che abbia altre forme...
"Frostman":
Una funzione è una relazione tra due insiemi, la quale associa ad ogni elemento del primo insieme (dominio) uno ed un solo elemento del secondo insieme (codominio).
E fino qui ci siamo.
"Frostman":
Per quanto riguarda la seconda domanda, non capisco, per esempio la funzione $sin(x)$, Mathematica la disegna pari pari ad una sinusoide, non mi pare che abbia altre forme...
Per favore, guarda attentamente il diagramma che hai postato e cerca di mettere in relazione la definizione di funzione con quel diagramma.
Ti pare sia soddisfatta?
Certo che no e lo possiamo osservare sui tratti verticali, per cui ad una $x$ vengono assegnate più $y$.
Ah, ecco.
E quindi quel diagramma non può essere quello del grafico di una funzione continua per il semplice fatto che non è nemmeno il diagramma del grafico di una funzione "pura e semplice".
Ora, se al corso di Analisi II ti avessero spiegato, oltre ad usare Plot, che ogni software di calcolo numerico funziona discretizzando i problemi continui, che la discretizzazione non va a braccetto con i fenomeni discontinui e che perciò non ha alcun senso fidarsi ciecamente di un software quando non si è già certi della bontà del risultato[nota]Che, poi, a grandi linee questo è il senso di tutta la Matematica applicata alle Scienze, all'Ingegneria, all'Economia, etc...[/nota], questo sì sarebbe stato importante ed avrebbe contribuito alla tua formazione.
Invece, come ho già letto recentemente in questa stanza, questi sono i tempi che "la pratica distrugge la grammatica".
Poveri voi (e povero me tra 10 anni).
E quindi quel diagramma non può essere quello del grafico di una funzione continua per il semplice fatto che non è nemmeno il diagramma del grafico di una funzione "pura e semplice".
Ora, se al corso di Analisi II ti avessero spiegato, oltre ad usare Plot, che ogni software di calcolo numerico funziona discretizzando i problemi continui, che la discretizzazione non va a braccetto con i fenomeni discontinui e che perciò non ha alcun senso fidarsi ciecamente di un software quando non si è già certi della bontà del risultato[nota]Che, poi, a grandi linee questo è il senso di tutta la Matematica applicata alle Scienze, all'Ingegneria, all'Economia, etc...[/nota], questo sì sarebbe stato importante ed avrebbe contribuito alla tua formazione.
Invece, come ho già letto recentemente in questa stanza, questi sono i tempi che "la pratica distrugge la grammatica".
Poveri voi (e povero me tra 10 anni).
A questo punto posso valutare l'utilizzo del Teorema di Vitali-Lebesgue? 
Devo solo capire come è costituito l'insieme dei punti di discontinuità per poterne valutare la misura.
Devo solo capire come è costituito l'insieme dei punti di discontinuità per poterne valutare la misura.
E c'è qualcosa che ti blocca?
Capire com'è questo insieme e come misurarlo. Non sono ancora molto pratico della Misura di Lebesgue, a livello teorico ci sono, ma pratico devo ancora lavorarci su. Analizzando la funzione, l'insieme di discontinuità è un insieme di punti se non vado errato, non sono intervalli, per cui la sua misura non saprei come calcolarla dato che l'ho sempre vista come differenza di due estremi, tipo $m([a,b])=b-a$.
Prima di tutto cerca di capire qual è esattamente l'insieme dei punti di discontinuità, che è una cosa puramente da analisi 1. Ma poi se stai studiando la teoria della misura di Lebesgue te l'avranno data la definizione di misure di Lebesgue di un insieme, cosa dice il libro di riferimento (o qualsiasi fonte usi per studiare) ?
L'insieme dei punti i discontinuità è l'insieme dei punti per cui il limite destro e sinistro della funzione e la funzione in quel punto non sono uguali tra di loro.
Per la misura di Lebesgue abbiamo visto che è:
$ m(prod_(I=1)^(N)[a_i,b_i] )=prod_(I=1)^(N)(b_i-a_i)>=0 $
E abbiamo analizzato la misura di insiemi aperti e compatti utilizzando i plurirettangoli.
Per la misura di Lebesgue abbiamo visto che è:
$ m(prod_(I=1)^(N)[a_i,b_i] )=prod_(I=1)^(N)(b_i-a_i)>=0 $
E abbiamo analizzato la misura di insiemi aperti e compatti utilizzando i plurirettangoli.
E poi?
Abbiamo dimostrato la misura di $mathbb(Q)$, analizzato l'insieme di Cantor, poi siamo passati alle funzioni misurabili, e infine all'integrale di Lebesgue (semplici, misurabili e positive, misurabili), le proprietà dell'integrale, lemma di Fatou, Teorema di Lebesgue e Teorema di Beppo-Levi
Mmmm... Roba standard.
Che corso è?
Da che libro studi?
A parte questo, qual è la misura di $QQ$?
Come si dimostra?
Si può generalizzare la dimostrazione per coprire casi di insiemi diversi? Quali? Come?
Che corso è?
Da che libro studi?
A parte questo, qual è la misura di $QQ$?
Come si dimostra?
Si può generalizzare la dimostrazione per coprire casi di insiemi diversi? Quali? Come?
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