Integrabilità secondo Riemann
Buongiorno, avrei bisogno di sapere se è giusto questo esercizio:
Ho fatto un Plot in Mathematica, inizialmente pensavo a dovermi rivolgere al Teorema di Vitali-Lebesgue, ma ho potuto osservare che la funzione è continua. Pertanto usando un altro teorema che mi dice che se la funzione è continua in un intervallo $[a, b]$ allora è integrabile su $[a, b]$. Può essere corretto? Questo esercizio era nella parte di esercizi riguardanti la misura di Lebesgue e integrabili di Lebesgue.
Si considerino le funzioni $sgn(x)$ e $s(x)$ definite da
$"sgn"(x) = \{(1, ", se " x>0),(0, ", se " x=0),(-1, ", se " x<0):}$
$ s(x) = \{(sin(1/x), ", se " x!=0),(0, ", se " x=0):}$
La funzione composta $"sgn"(s(x))$ è Riemann-integrabile in $[-1, 1]$? Perché?
Ho fatto un Plot in Mathematica, inizialmente pensavo a dovermi rivolgere al Teorema di Vitali-Lebesgue, ma ho potuto osservare che la funzione è continua. Pertanto usando un altro teorema che mi dice che se la funzione è continua in un intervallo $[a, b]$ allora è integrabile su $[a, b]$. Può essere corretto? Questo esercizio era nella parte di esercizi riguardanti la misura di Lebesgue e integrabili di Lebesgue.
Risposte
Sto seguendo il corso di Analisi II per Fisica. Per l'esame sono stati dati gli appunti utilizzati a lezione, per chi volesse approfondire sono stati consigliati dei libri come il Giusti.
La misura di $mathbb(Q)$ = 0
Dimostrazione:
Anzitutto ci chiediamo se $mathbb(Q)$ è misurabile. $mathbb(Q)$ è misurabile in quanto è unione numerabile di insiemi misurabili.
$mathbb(Q) = \bigcup_{n in mathbb(N)}{q_n}$
${q_n}$ è compatto $=> {q_n}in mathcal(L) => mathbb(Q)inmathcal(L)$
Fisso $\epsilon > 0$. Per ogni $n in mathbb(N)$, $(q_n -\epsilon/2^n, q_n+\epsilon/2^n) =: A$
$\bigcup_{n in mathbb(N)}A_n =: A$
Pertanto $mathbb(Q) sube A$
$m(A) = m (\bigcup_{n in mathbb(N)}A_n) <= sum_(n in mathbb(N)) m(A_n) <= sum_(n in mathbb(N)) m((q_n -\epsilon/2^n , q_n+\epsilon/2^n))=sum_(n in mathbb(N))2\epsilon/2^n=2\epsilon sum_(n in mathbb(N))1/2^n=2\epsilon1/(1-1/2)=4\epsilon$
$=> m(A) <= 4\epsilon $
$=>m(mathbb(Q))=0$
La misura di $mathbb(Q)$ = 0
Dimostrazione:
Anzitutto ci chiediamo se $mathbb(Q)$ è misurabile. $mathbb(Q)$ è misurabile in quanto è unione numerabile di insiemi misurabili.
$mathbb(Q) = \bigcup_{n in mathbb(N)}{q_n}$
${q_n}$ è compatto $=> {q_n}in mathcal(L) => mathbb(Q)inmathcal(L)$
Fisso $\epsilon > 0$. Per ogni $n in mathbb(N)$, $(q_n -\epsilon/2^n, q_n+\epsilon/2^n) =: A$
$\bigcup_{n in mathbb(N)}A_n =: A$
Pertanto $mathbb(Q) sube A$
$m(A) = m (\bigcup_{n in mathbb(N)}A_n) <= sum_(n in mathbb(N)) m(A_n) <= sum_(n in mathbb(N)) m((q_n -\epsilon/2^n , q_n+\epsilon/2^n))=sum_(n in mathbb(N))2\epsilon/2^n=2\epsilon sum_(n in mathbb(N))1/2^n=2\epsilon1/(1-1/2)=4\epsilon$
$=> m(A) <= 4\epsilon $
$=>m(mathbb(Q))=0$
Ok.
"gugo82":
Si può generalizzare la dimostrazione per coprire casi di insiemi diversi? Quali? Come?
Potrei procedere allo stesso modo considerando l'insieme di discontinuità come l'unione numerabile di insiemi misurabili.
$D=\bigcup_{n in mathbb(N)} d_n$
E procedo allo stesso modo per come abbiamo dimostrato per $mathbb(Q)$, no?
Non vorrei dir una stupidata ma
$D=\bigcup_{n in mathbb(N)} d_n$
E procedo allo stesso modo per come abbiamo dimostrato per $mathbb(Q)$, no?
Non vorrei dir una stupidata ma
Un insieme $S sube mathbb(R)$ ha misura zero se, per ogni $\epsilon > 0$, esiste una famiglia finita o numerabile di intervalli $I_1$, $I_2$, ... , (che possono avere anche interni non disgiunti) tale che $S=\bigcup_n I_n$ e $ sum_(n)m(I_n) < \epsilon $
Esatto.
In generale, ogni insieme numerabile ha misura di Lebesgue nulla.
Questo si può dimostrare ripetendo pari pari la dimostrazione data per $QQ$, oppure osservando che ogni insieme numerabile è unione numerabile di insiemi di misura nulla (i singleton dei suoi elementi).
In generale, ogni insieme numerabile ha misura di Lebesgue nulla.
Questo si può dimostrare ripetendo pari pari la dimostrazione data per $QQ$, oppure osservando che ogni insieme numerabile è unione numerabile di insiemi di misura nulla (i singleton dei suoi elementi).
Perfetto, mi ero perso questo pezzo!
Penso sia sufficiente ridurmi alla dimostrazione della misura di $mathbb(Q)$, nel caso volessi definire meglio l'insieme di discontinuità? Che biiezione potrei usare?
Penso sia sufficiente ridurmi alla dimostrazione della misura di $mathbb(Q)$, nel caso volessi definire meglio l'insieme di discontinuità? Che biiezione potrei usare?
L’insieme delle discontinuità sai dire bene quali punti contiene, fai i conti.
Dopodiché hai finito.
Dopodiché hai finito.
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