Integrabilità in un intervallo
Salve a tutti, ho qualche problema nella comprensione degli esercizi che richiedono se una funzione è integrabile in un determinato intervallo.
Dal mio libro ho la seguente definizione (Per gli integrali impropri di 1° specie) :
Sia $ f:[a, +oo[ -> R $ , tale funzione si dice integrabile se $ EE lim_(z->+oo) int_(a)^(z) f(x) dx $ (finito o infinito)
Quindi per risolvere un esercizio del tipo :
$ f(x) = ((arctan(x))/sqrtx) sin(1/x) $ è integrabile in $ [1, +oo[ $ ?
Io procederei innanzitutto determinando che $ f:]0, +oo[ -> R $ (quindi è continua in $ R^+ $ con l'esclusione di 0 che è un punto di discontinuità)
Poi applicando la definizione dovrei calcolare :
$ lim_(z->+oo) int_(1)^(z) ((arctan(x))/sqrtx) sin(1/x) dx $
Quindi dovrei risolvere l'integrale e poi calcolarne il $ lim $ e vedere se esiste finito o infinito ?
Guardando altri esercizi svolti su questo forum ho visto che in teoria si dovrebbe fare :
$ lim_(x->1) ((arctan(x))/sqrtx) sin(1/x) = arctan(1) sin(1) in R $
$ lim_(x->+oo) ((arctan(x))/sqrtx) sin(1/x) = 0 in R $
Cioè calcolare i $ lim $ dell'integranda agli estremi dell'intervallo di integrazione che ci da l'esercizio..
Sono confuso
qual'e il procedimento da applicare ?
Magari se esiste una scaletta dei controlli da effettuare ve ne sarei grato
Dal mio libro ho la seguente definizione (Per gli integrali impropri di 1° specie) :
Sia $ f:[a, +oo[ -> R $ , tale funzione si dice integrabile se $ EE lim_(z->+oo) int_(a)^(z) f(x) dx $ (finito o infinito)
Quindi per risolvere un esercizio del tipo :
$ f(x) = ((arctan(x))/sqrtx) sin(1/x) $ è integrabile in $ [1, +oo[ $ ?
Io procederei innanzitutto determinando che $ f:]0, +oo[ -> R $ (quindi è continua in $ R^+ $ con l'esclusione di 0 che è un punto di discontinuità)
Poi applicando la definizione dovrei calcolare :
$ lim_(z->+oo) int_(1)^(z) ((arctan(x))/sqrtx) sin(1/x) dx $
Quindi dovrei risolvere l'integrale e poi calcolarne il $ lim $ e vedere se esiste finito o infinito ?
Guardando altri esercizi svolti su questo forum ho visto che in teoria si dovrebbe fare :
$ lim_(x->1) ((arctan(x))/sqrtx) sin(1/x) = arctan(1) sin(1) in R $
$ lim_(x->+oo) ((arctan(x))/sqrtx) sin(1/x) = 0 in R $
Cioè calcolare i $ lim $ dell'integranda agli estremi dell'intervallo di integrazione che ci da l'esercizio..
Sono confuso
qual'e il procedimento da applicare ?Magari se esiste una scaletta dei controlli da effettuare ve ne sarei grato
Risposte
in questo caso dovresti calcolare l'integrale
\[\int_{1}^{+\infty}\frac{\arctan x}{\sqrt x}\sin\frac{1}{x}\,\,dx\]
che risulta improprio a $+\infty$; coome hai osservato al funzione risulta sempre positiva nell'intervallo di iintegrazione, dunque basta considerare il comportamento asintotico della funzione integranda quando $x\to+\infty$,
\[ \frac{\arctan x}{\sqrt x}\sin\frac{1}{x}\sim \frac{c}{\sqrt x \cdot x}=\sim \frac{c}{ x^{\frac{3}{2}}} \]
da cui concludi che converge; il problema di calcolare una primitiva non si pone in quanto quell'integrale indefinito non si riesce ad esprimere tramite funzioni elementari, quindi ci dobbiamo accontentare della convergenza!
\[\int_{1}^{+\infty}\frac{\arctan x}{\sqrt x}\sin\frac{1}{x}\,\,dx\]
che risulta improprio a $+\infty$; coome hai osservato al funzione risulta sempre positiva nell'intervallo di iintegrazione, dunque basta considerare il comportamento asintotico della funzione integranda quando $x\to+\infty$,
\[ \frac{\arctan x}{\sqrt x}\sin\frac{1}{x}\sim \frac{c}{\sqrt x \cdot x}=\sim \frac{c}{ x^{\frac{3}{2}}} \]
da cui concludi che converge; il problema di calcolare una primitiva non si pone in quanto quell'integrale indefinito non si riesce ad esprimere tramite funzioni elementari, quindi ci dobbiamo accontentare della convergenza!
$f(x)=(arctan(x))/sqrtx sin(1/x)$ ha dominio $(0,+oo)$ ed è ivi continua perché composizione di funzioni continue: ciò basta per affermare che $f(x)$ è integrabile nell'intervallo $[1,+oo) subset (0, +oo)$ 
Magari bisognerebbe controllare se l'integrale converge o meno...
Magari bisognerebbe controllare se l'integrale converge o meno...
"Brancaleone":
: ciò basta per affermare che $f(x)$ è integrabile nell'intervallo $[1,+oo) subset (0, +oo)$
è integrabile in ogni intervallo $[1,\delta] subset (0, +oo)$ e non intervallo in$[1,+\infty)$ ... che è quello che chiede l'esercizio
"Noisemaker":
è integrabile in ogni intervallo $[1,\delta] subset (0, +oo)$ e non intervallo in$[1,+\infty)$ ... che è quello che chiede l'esercizio
...vero
Quindi schematizzando, in sostanza si devono seguire questi passaggi :
1) Determinare il Campo di Esistenza
2) Determinare il Tipo di Integrazione Impropria
3) Verificare la convergenza dell'integranda
E se l'intervallo di integrazione fosse stato $ [ - 1 , +oo ] $ ?
Cioè, vorrei sapere come comportarmi nei casi generali
1) Determinare il Campo di Esistenza
2) Determinare il Tipo di Integrazione Impropria
3) Verificare la convergenza dell'integranda
"Noisemaker":
come hai osservato la funzione risulta sempre positiva nell'intervallo di integrazione, dunque basta considerare il comportamento asintotico della funzione integranda quando \( x\to+\infty \)
E se l'intervallo di integrazione fosse stato $ [ - 1 , +oo ] $ ?
Cioè, vorrei sapere come comportarmi nei casi generali
in quel caso non ha senso in quanto la funzione è definita per $x>0$ e dunque in $-1$ non esiste nulla da integrare! 
; se l' integrale fosse stato invece
\[\int_{0}^{+\infty}\frac{\arctan x}{\sqrt x}\sin\frac{1}{x}\,\,dx\]
avresti dovuto cosinderare anche il punto $x=0$ come punto critico e fare le considerazioni precedenti anche in tale punto
; se l' integrale fosse stato invece\[\int_{0}^{+\infty}\frac{\arctan x}{\sqrt x}\sin\frac{1}{x}\,\,dx\]
avresti dovuto cosinderare anche il punto $x=0$ come punto critico e fare le considerazioni precedenti anche in tale punto
"Noisemaker":
avresti dovuto cosinderare anche il punto $x=0$ come punto critico e fare le considerazioni precedenti anche in tale punto
Quindi dovrei considerare il comportamento dell'integranda per $ x -> 0 $ ?
Dovrei fare un confronto del tipo :
$ int_(0)^(+oo) f(x) dx = int_(0)^(1) f(x) dx + int_(1)^(+oo) f(x) dx $
Studiamo la convergenza tra $ 0 $ e $ 1 $
$ (arctan(x)/ sqrtx)sin(1/x) ~ c/sqrtx 1/x = c/x^(3/2) $
Adesso confrontiamo con una serie test del tipo :
$ int_(0)^(1) 1/x^alpha dx $
e sappiamo che essa :
Converge se $ alpha < 1 $
Diverge se $ alpha >= 1 $[/list:u:e62b2i86]
Poichè $ 3/2 > 1 $ allora diverge e quindi ?
Sarebbe a dire che non è integrabile in $ [0, 1] $ però lo è in $ [1, +oo] $ ??
attenzione 
primo stai facendo un confronto al finito, cioè quando $x\to0$ e non a $+\infty$;
secondoquando $x\to 0$ la funzione integranda non mantiene segno costante, in quanto il $\sin\frac{1}{\sqrt{x}}$ oscilla tra valori positivi e negativi (compresi tra $-1$ e $1$) quindi per poter applicare il confronto asintotico, devi considerare il valore assoluto della funzione integranda
\begin{align}\left| \frac{\arctan x}{\sqrt x}\sin\frac{1}{x}\right|=\frac{\arctan x}{\sqrt x}\left| \sin\frac{1}{x}\right|\le\frac{\arctan x}{\sqrt x}\sim\frac{ x}{\sqrt x}=\frac{ 1}{x^{-\frac{1}{2}}}=\sqrt x=0\to\mbox{converge}\end{align}
in quanto in zero la funzione è prolungabile per continuità nel punto $x=0$
primo stai facendo un confronto al finito, cioè quando $x\to0$ e non a $+\infty$;
secondoquando $x\to 0$ la funzione integranda non mantiene segno costante, in quanto il $\sin\frac{1}{\sqrt{x}}$ oscilla tra valori positivi e negativi (compresi tra $-1$ e $1$) quindi per poter applicare il confronto asintotico, devi considerare il valore assoluto della funzione integranda
\begin{align}\left| \frac{\arctan x}{\sqrt x}\sin\frac{1}{x}\right|=\frac{\arctan x}{\sqrt x}\left| \sin\frac{1}{x}\right|\le\frac{\arctan x}{\sqrt x}\sim\frac{ x}{\sqrt x}=\frac{ 1}{x^{-\frac{1}{2}}}=\sqrt x=0\to\mbox{converge}\end{align}
in quanto in zero la funzione è prolungabile per continuità nel punto $x=0$
Forse inizio a capire, o perlomeno ci provo
Porto un altro esempio spiegando il motivo dei passaggi e vedo se almeno ho capito cosa si deve fare
$ f(x) = sqrt((1-x)/(x)) 1/ln(x) $ è integrabile in $ [0, 1] $ ?
Innanzitutto partiamo dal Campo di Esistenza, e vediamo che
$ f : ] 0 , 1 ] -> R $
Quindi siamo in presenza di un integrale improprio di 2° specie
Poichè la funzione è definita nell'estremo $ 1 $ , l'unico problema che dobbiamo porci è quello di studiare il comportamento all'avvicinarsi a zero $ x -> 0 $
Quindi :
$ sqrt((1-x)/(x)) 1/ln(x) = sqrt(1-x)/ sqrt(x) 1/ln(x) $
Per $ x -> 0 $ il numeratore tende a $ 1 $, quindi :
$ sqrt(1-x)/ sqrt(x) 1/ln(x) ~ 1/x^(1/2) 1/x^(-1) = 1/x^(-1/2) = sqrtx = 0 $
Allora possiamo concludere dicendo che la funzione è integrabile in $ [0, 1] $
Il problema principale sta nella comprensione di quello che dovrò fare. Per i calcoli si può migliorare facendo molti esercizi, ma per adesso il mio obiettivo principale è quello di capire cosa fare (qualunque sia l'intervallo di integrazione richiesto).
I passaggi hanno logica e sono corretti oppure non ho ancora capito una mazza di come approcciarmi a questi esercizi ?
Porto un altro esempio spiegando il motivo dei passaggi e vedo se almeno ho capito cosa si deve fare
$ f(x) = sqrt((1-x)/(x)) 1/ln(x) $ è integrabile in $ [0, 1] $ ?
Innanzitutto partiamo dal Campo di Esistenza, e vediamo che
$ f : ] 0 , 1 ] -> R $
Quindi siamo in presenza di un integrale improprio di 2° specie
Poichè la funzione è definita nell'estremo $ 1 $ , l'unico problema che dobbiamo porci è quello di studiare il comportamento all'avvicinarsi a zero $ x -> 0 $
Quindi :
$ sqrt((1-x)/(x)) 1/ln(x) = sqrt(1-x)/ sqrt(x) 1/ln(x) $
Per $ x -> 0 $ il numeratore tende a $ 1 $, quindi :
$ sqrt(1-x)/ sqrt(x) 1/ln(x) ~ 1/x^(1/2) 1/x^(-1) = 1/x^(-1/2) = sqrtx = 0 $
Allora possiamo concludere dicendo che la funzione è integrabile in $ [0, 1] $
Il problema principale sta nella comprensione di quello che dovrò fare. Per i calcoli si può migliorare facendo molti esercizi, ma per adesso il mio obiettivo principale è quello di capire cosa fare (qualunque sia l'intervallo di integrazione richiesto).
I passaggi hanno logica e sono corretti oppure non ho ancora capito una mazza di come approcciarmi a questi esercizi ?
il ragionamento è corretto, a parte il fatto che la funzione in $x=1$ presenta un problema in quanto il logaritmo che sta a denominatore vale zero e rende quella frazione problematica, quindi devi nche considerare il comportamento vicino a $1$
Quindi sarebbe anche da considerare
$ sqrt(1-x)/sqrtx 1/ln(x) ~ x^(1/2) 1/(1/x) = x^(3/2) = 1 $
E quindi converge anche questo ?
Su quest'ultimo però ho qualche dubbio nei calcoli
Ripensandoci dovrebbe essere corretto fare così :
$ sqrt(1-x)/sqrtx 1/ln(x) ~ sqrt(1-x) 1/(1/x) = xsqrt(1-x) = 0 $
$ sqrt(1-x)/sqrtx 1/ln(x) ~ x^(1/2) 1/(1/x) = x^(3/2) = 1 $
E quindi converge anche questo ?
Su quest'ultimo però ho qualche dubbio nei calcoli
Ripensandoci dovrebbe essere corretto fare così :
$ sqrt(1-x)/sqrtx 1/ln(x) ~ sqrt(1-x) 1/(1/x) = xsqrt(1-x) = 0 $
quanto $x\to1$ hai che
\[\frac{\sqrt{1-x}}{\sqrt x}\cdot \frac{1}{\ln x}\sim \sqrt{1-x}\cdot \frac{1}{x-1}=-\sqrt{1-x}\cdot \frac{1}{1-x}=-\frac{1}{(x-1)^{\frac{1}{2}}}\to\mbox{converge}\]
\[\frac{\sqrt{1-x}}{\sqrt x}\cdot \frac{1}{\ln x}\sim \sqrt{1-x}\cdot \frac{1}{x-1}=-\sqrt{1-x}\cdot \frac{1}{1-x}=-\frac{1}{(x-1)^{\frac{1}{2}}}\to\mbox{converge}\]
Aspetta un attimo, come fai a dire che
$ sqrtx lnx ∼ x - 1 $ ?
$ sqrtx lnx ∼ x - 1 $ ?
quando $x\to1$ $sqrt x\to1$
Si giusto, ma :
per $ x -> 1 $ si ha $ sqrtx -> 1 $
però per $ x -> 1 $ si ha $ ln x -> 1/x $ ?
Quindi $ 1 * 1/x = 1/x $ , anche se mi sa che ho approssimato male il logaritmo
Ahhh ho capito (forse) , praticamente se $ x -> 1 $ si ha che $ ln(1) = 0 $ , per determinare un asintotico deve ovviamente avere stesso carattere, quindi possiamo approssimarlo con $ x - 1 $ , infatti se $ x -> 1 $ si ha $ 1 - 1 = 0 $ cioè ha stesso carattere. Giusto ?
per $ x -> 1 $ si ha $ sqrtx -> 1 $
però per $ x -> 1 $ si ha $ ln x -> 1/x $ ?
Quindi $ 1 * 1/x = 1/x $ , anche se mi sa che ho approssimato male il logaritmo
Ahhh ho capito (forse) , praticamente se $ x -> 1 $ si ha che $ ln(1) = 0 $ , per determinare un asintotico deve ovviamente avere stesso carattere, quindi possiamo approssimarlo con $ x - 1 $ , infatti se $ x -> 1 $ si ha $ 1 - 1 = 0 $ cioè ha stesso carattere. Giusto ?
"Oiram92":
Si giusto, ma :
per $ x -> 1 $ si ha $ sqrtx -> 1 $
però per $ x -> 1 $ si ha $ ln x -> 1/x $ ?
Quindi $ 1 * 1/x = 1/x $ , anche se mi sa che ho approssimato male il logaritmo
Ahhh ho capito (forse) , praticamente se $ x -> 1 $ si ha che $ ln(1) = 0 $ , per determinare un asintotico deve ovviamente avere stesso carattere, quindi possiamo approssimarlo con $ x - 1 $ , infatti se $ x -> 1 $ si ha $ 1 - 1 = 0 $ cioè ha stesso carattere. Giusto ?
ma no se $ x -> 1 $ si ha $ ln x ->x-1 $
Mi sono andato a guardare di nuovo la formula di taylor e come sempre hai ragione tu
$ ln(x) = ln(1) + (1/1) (x - 1) = 0 + x - 1 = x - 1 $
Grazie ancora ! Non so proprio come farei senza di te
$ ln(x) = ln(1) + (1/1) (x - 1) = 0 + x - 1 = x - 1 $
Grazie ancora ! Non so proprio come farei senza di te
Abuso della vostra pazienza per l'ultima volta (per oggi ) per verificare se ho compreso tutto.
Esercizio random :
$ f(x) = ln(x) / (x^alpha arctan(1/x)) $ con $ alpha > 0 $ , è integrabile in $ [1 , +oo[ $ ?
Svolgimento
Campo di Esistenza : $ f : ] 0 , +oo[ -> R $
Problema in $ 1 $
per $ x -> 1 $ , otteniamo :
$ ln(x) / (x^alpha arctan(1/x)) = ln(x) / (x^alpha * c ) ∼ (x-1)/x^alpha < x / x^alpha = 1 / x^(alpha - 1) $
Quindi si ha la convergenza per $ alpha - 1 < 1 hArr alpha < 2 $
Problema in $ +oo $
per $ x -> +oo $ , otteniamo :
$ ln(x) / (x^alpha arctan(1/x)) = ln(x) / (x^alpha 1/x (arctan(1/x)) / (1/x) ) = ln(x) / x^(alpha - 1) < x / x^(alpha - 1) = 1 / x^alpha $
Quindi si ha la convergenza per $ alpha > 1 $
Quindi possiamo concludere che la funzione è integrabile $ hArr 1 < alpha < 2 $
) per verificare se ho compreso tutto.Esercizio random :
$ f(x) = ln(x) / (x^alpha arctan(1/x)) $ con $ alpha > 0 $ , è integrabile in $ [1 , +oo[ $ ?
Svolgimento
Campo di Esistenza : $ f : ] 0 , +oo[ -> R $
Problema in $ 1 $
per $ x -> 1 $ , otteniamo :
$ ln(x) / (x^alpha arctan(1/x)) = ln(x) / (x^alpha * c ) ∼ (x-1)/x^alpha < x / x^alpha = 1 / x^(alpha - 1) $
Quindi si ha la convergenza per $ alpha - 1 < 1 hArr alpha < 2 $
Problema in $ +oo $
per $ x -> +oo $ , otteniamo :
$ ln(x) / (x^alpha arctan(1/x)) = ln(x) / (x^alpha 1/x (arctan(1/x)) / (1/x) ) = ln(x) / x^(alpha - 1) < x / x^(alpha - 1) = 1 / x^alpha $
Quindi si ha la convergenza per $ alpha > 1 $
Quindi possiamo concludere che la funzione è integrabile $ hArr 1 < alpha < 2 $
"Oiram92":
Campo di Esistenza : $ f : ] 0 , +oo[ -> R $
"Oiram92":
Problema in $ 1 $
per $ x -> 1 $ , otteniamo :
$ ln(x) / (x^alpha arctan(1/x)) = ln(x) / (x^alpha * c ) ∼ (x-1)/x^alpha < x / x^alpha = 1 / x^(alpha - 1) $
Quindi si ha la convergenza per $ alpha - 1 < 1 hArr alpha < 2 $
perchè problema in $1$? avrà problemi in $0$ o no? in $x=1$ quella funzione vale $0$ quindi è continua e certamente integrabile! quindi la stima che segue non va bene
"Oiram92":
Problema in $ +oo $
per $ x -> +oo $ , otteniamo :
$ ln(x) / (x^alpha arctan(1/x)) = ln(x) / (x^alpha 1/x (arctan(1/x)) / (1/x) ) = ln(x) / x^(alpha - 1) < x / x^(alpha - 1) = 1 / x^alpha $
Quindi si ha la convergenza per $ alpha > 1 $
Quindi possiamo concludere che la funzione è integrabile $ hArr 1 < alpha < 2 $
qui c'è un errore nell'applicazione delle proprietà delle potente ...
Giusto, ieri mi sarò fuso troppo il cervello..
A mente fresca ho visto l'errore in $ +oo $
Problema in $ +oo $
Per $ x -> +oo $
$ ln(x) / (x^alpha arctan(1/x)) = ln(x) / (x^alpha 1/x (arctan(1/x)) / (1/x) ) = ln(x) / x^(alpha - 1) < x / x^(alpha - 1) = 1 / x^(alpha - 2) $
Che converge solo se $ alpha - 2 > 1 hArr alpha > 3 $
Però ho un dubbio in quello in $ 0 $
Problema in $ 0 $
Per $ x -> 0 $
$ ln(x)/x^a 1/arctan(1/x) = ln(x)/x^(alpha - 1) (1/x)/arctan(1/x) = ln(x)/x^(alpha-1) * 1 $
A questo punto inizio ad aver un dubbio, come posso approssimare il $ ln(x) $ per $ x -> 0 $ ?
Con Taylor sarebbe :
$ ln(x) = ln(0) + 1/0(x - 0) = -oo + oo $
A meno che si procede con una disuguaglianza :
$ ln(x)/x^a 1/arctan(1/x) = ln(x)/x^(alpha - 1) (1/x)/arctan(1/x) = ln(x)/x^(alpha-1) < ln(x+1)/x^(alpha-1) ~ x / x^(alpha-1) = 1 / x^(alpha-2) $
Che converge solo se $ alpha - 2 < 1 hArr alpha < 3 $
Quindi infine, si avrebbe l'integrabilità per $ alpha = 3 $ ?
A mente fresca ho visto l'errore in $ +oo $
Problema in $ +oo $
Per $ x -> +oo $
$ ln(x) / (x^alpha arctan(1/x)) = ln(x) / (x^alpha 1/x (arctan(1/x)) / (1/x) ) = ln(x) / x^(alpha - 1) < x / x^(alpha - 1) = 1 / x^(alpha - 2) $
Che converge solo se $ alpha - 2 > 1 hArr alpha > 3 $
Però ho un dubbio in quello in $ 0 $
Problema in $ 0 $
Per $ x -> 0 $
$ ln(x)/x^a 1/arctan(1/x) = ln(x)/x^(alpha - 1) (1/x)/arctan(1/x) = ln(x)/x^(alpha-1) * 1 $
A questo punto inizio ad aver un dubbio, come posso approssimare il $ ln(x) $ per $ x -> 0 $ ?
Con Taylor sarebbe :
$ ln(x) = ln(0) + 1/0(x - 0) = -oo + oo $
A meno che si procede con una disuguaglianza :
$ ln(x)/x^a 1/arctan(1/x) = ln(x)/x^(alpha - 1) (1/x)/arctan(1/x) = ln(x)/x^(alpha-1) < ln(x+1)/x^(alpha-1) ~ x / x^(alpha-1) = 1 / x^(alpha-2) $
Che converge solo se $ alpha - 2 < 1 hArr alpha < 3 $
Quindi infine, si avrebbe l'integrabilità per $ alpha = 3 $ ?
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