Integrabilità in un intervallo

Oiram92
Salve a tutti, ho qualche problema nella comprensione degli esercizi che richiedono se una funzione è integrabile in un determinato intervallo.
Dal mio libro ho la seguente definizione (Per gli integrali impropri di 1° specie) :
Sia $ f:[a, +oo[ -> R $ , tale funzione si dice integrabile se $ EE lim_(z->+oo) int_(a)^(z) f(x) dx $ (finito o infinito)

Quindi per risolvere un esercizio del tipo :
$ f(x) = ((arctan(x))/sqrtx) sin(1/x) $ è integrabile in $ [1, +oo[ $ ?

Io procederei innanzitutto determinando che $ f:]0, +oo[ -> R $ (quindi è continua in $ R^+ $ con l'esclusione di 0 che è un punto di discontinuità)
Poi applicando la definizione dovrei calcolare :
$ lim_(z->+oo) int_(1)^(z) ((arctan(x))/sqrtx) sin(1/x) dx $
Quindi dovrei risolvere l'integrale e poi calcolarne il $ lim $ e vedere se esiste finito o infinito ?

Guardando altri esercizi svolti su questo forum ho visto che in teoria si dovrebbe fare :
$ lim_(x->1) ((arctan(x))/sqrtx) sin(1/x) = arctan(1) sin(1) in R $
$ lim_(x->+oo) ((arctan(x))/sqrtx) sin(1/x) = 0 in R $

Cioè calcolare i $ lim $ dell'integranda agli estremi dell'intervallo di integrazione che ci da l'esercizio..
Sono confuso :( qual'e il procedimento da applicare ?
Magari se esiste una scaletta dei controlli da effettuare ve ne sarei grato :D

Risposte
Noisemaker
in questo caso dovresti calcolare l'integrale
\[\int_{1}^{+\infty}\frac{\arctan x}{\sqrt x}\sin\frac{1}{x}\,\,dx\]
che risulta improprio a $+\infty$; coome hai osservato al funzione risulta sempre positiva nell'intervallo di iintegrazione, dunque basta considerare il comportamento asintotico della funzione integranda quando $x\to+\infty$,
\[ \frac{\arctan x}{\sqrt x}\sin\frac{1}{x}\sim \frac{c}{\sqrt x \cdot x}=\sim \frac{c}{ x^{\frac{3}{2}}} \]
da cui concludi che converge; il problema di calcolare una primitiva non si pone in quanto quell'integrale indefinito non si riesce ad esprimere tramite funzioni elementari, quindi ci dobbiamo accontentare della convergenza!

Brancaleone1
$f(x)=(arctan(x))/sqrtx sin(1/x)$ ha dominio $(0,+oo)$ ed è ivi continua perché composizione di funzioni continue: ciò basta per affermare che $f(x)$ è integrabile nell'intervallo $[1,+oo) subset (0, +oo)$ :)

Magari bisognerebbe controllare se l'integrale converge o meno...

Noisemaker
"Brancaleone":
: ciò basta per affermare che $f(x)$ è integrabile nell'intervallo $[1,+oo) subset (0, +oo)$ :)


è integrabile in ogni intervallo $[1,\delta] subset (0, +oo)$ e non intervallo in$[1,+\infty)$ ... che è quello che chiede l'esercizio

Brancaleone1
"Noisemaker":

è integrabile in ogni intervallo $[1,\delta] subset (0, +oo)$ e non intervallo in$[1,+\infty)$ ... che è quello che chiede l'esercizio

...vero :)

Oiram92
Quindi schematizzando, in sostanza si devono seguire questi passaggi :
1) Determinare il Campo di Esistenza
2) Determinare il Tipo di Integrazione Impropria
3) Verificare la convergenza dell'integranda

"Noisemaker":
come hai osservato la funzione risulta sempre positiva nell'intervallo di integrazione, dunque basta considerare il comportamento asintotico della funzione integranda quando \( x\to+\infty \)


E se l'intervallo di integrazione fosse stato $ [ - 1 , +oo ] $ ?
Cioè, vorrei sapere come comportarmi nei casi generali

Noisemaker
in quel caso non ha senso in quanto la funzione è definita per $x>0$ e dunque in $-1$ non esiste nulla da integrare! :wink: ; se l' integrale fosse stato invece
\[\int_{0}^{+\infty}\frac{\arctan x}{\sqrt x}\sin\frac{1}{x}\,\,dx\]
avresti dovuto cosinderare anche il punto $x=0$ come punto critico e fare le considerazioni precedenti anche in tale punto

Oiram92
"Noisemaker":
avresti dovuto cosinderare anche il punto $x=0$ come punto critico e fare le considerazioni precedenti anche in tale punto


Quindi dovrei considerare il comportamento dell'integranda per $ x -> 0 $ ?
Dovrei fare un confronto del tipo :
$ int_(0)^(+oo) f(x) dx = int_(0)^(1) f(x) dx + int_(1)^(+oo) f(x) dx $

Studiamo la convergenza tra $ 0 $ e $ 1 $
$ (arctan(x)/ sqrtx)sin(1/x) ~ c/sqrtx 1/x = c/x^(3/2) $
Adesso confrontiamo con una serie test del tipo :
$ int_(0)^(1) 1/x^alpha dx $
e sappiamo che essa :

    Converge se $ alpha < 1 $
    Diverge se $ alpha >= 1 $[/list:u:e62b2i86]

    Poichè $ 3/2 > 1 $ allora diverge e quindi ?
    Sarebbe a dire che non è integrabile in $ [0, 1] $ però lo è in $ [1, +oo] $ ??

Noisemaker
attenzione :!:
primo stai facendo un confronto al finito, cioè quando $x\to0$ e non a $+\infty$;
secondoquando $x\to 0$ la funzione integranda non mantiene segno costante, in quanto il $\sin\frac{1}{\sqrt{x}}$ oscilla tra valori positivi e negativi (compresi tra $-1$ e $1$) quindi per poter applicare il confronto asintotico, devi considerare il valore assoluto della funzione integranda
\begin{align}\left| \frac{\arctan x}{\sqrt x}\sin\frac{1}{x}\right|=\frac{\arctan x}{\sqrt x}\left| \sin\frac{1}{x}\right|\le\frac{\arctan x}{\sqrt x}\sim\frac{ x}{\sqrt x}=\frac{ 1}{x^{-\frac{1}{2}}}=\sqrt x=0\to\mbox{converge}\end{align}
in quanto in zero la funzione è prolungabile per continuità nel punto $x=0$

Oiram92
Forse inizio a capire, o perlomeno ci provo :)
Porto un altro esempio spiegando il motivo dei passaggi e vedo se almeno ho capito cosa si deve fare
$ f(x) = sqrt((1-x)/(x)) 1/ln(x) $ è integrabile in $ [0, 1] $ ?
Innanzitutto partiamo dal Campo di Esistenza, e vediamo che
$ f : ] 0 , 1 ] -> R $
Quindi siamo in presenza di un integrale improprio di 2° specie
Poichè la funzione è definita nell'estremo $ 1 $ , l'unico problema che dobbiamo porci è quello di studiare il comportamento all'avvicinarsi a zero $ x -> 0 $
Quindi :
$ sqrt((1-x)/(x)) 1/ln(x) = sqrt(1-x)/ sqrt(x) 1/ln(x) $
Per $ x -> 0 $ il numeratore tende a $ 1 $, quindi :
$ sqrt(1-x)/ sqrt(x) 1/ln(x) ~ 1/x^(1/2) 1/x^(-1) = 1/x^(-1/2) = sqrtx = 0 $
Allora possiamo concludere dicendo che la funzione è integrabile in $ [0, 1] $

Il problema principale sta nella comprensione di quello che dovrò fare. Per i calcoli si può migliorare facendo molti esercizi, ma per adesso il mio obiettivo principale è quello di capire cosa fare (qualunque sia l'intervallo di integrazione richiesto).
I passaggi hanno logica e sono corretti oppure non ho ancora capito una mazza di come approcciarmi a questi esercizi ? :oops:

Noisemaker
il ragionamento è corretto, a parte il fatto che la funzione in $x=1$ presenta un problema in quanto il logaritmo che sta a denominatore vale zero e rende quella frazione problematica, quindi devi nche considerare il comportamento vicino a $1$

Oiram92
Quindi sarebbe anche da considerare
$ sqrt(1-x)/sqrtx 1/ln(x) ~ x^(1/2) 1/(1/x) = x^(3/2) = 1 $
E quindi converge anche questo ?
Su quest'ultimo però ho qualche dubbio nei calcoli

Ripensandoci dovrebbe essere corretto fare così :
$ sqrt(1-x)/sqrtx 1/ln(x) ~ sqrt(1-x) 1/(1/x) = xsqrt(1-x) = 0 $

Noisemaker
quanto $x\to1$ hai che
\[\frac{\sqrt{1-x}}{\sqrt x}\cdot \frac{1}{\ln x}\sim \sqrt{1-x}\cdot \frac{1}{x-1}=-\sqrt{1-x}\cdot \frac{1}{1-x}=-\frac{1}{(x-1)^{\frac{1}{2}}}\to\mbox{converge}\]

Oiram92
Aspetta un attimo, come fai a dire che
$ sqrtx lnx ∼ x - 1 $ ?

Noisemaker
quando $x\to1$ $sqrt x\to1$

Oiram92
Si giusto, ma :
per $ x -> 1 $ si ha $ sqrtx -> 1 $
però per $ x -> 1 $ si ha $ ln x -> 1/x $ ?

Quindi $ 1 * 1/x = 1/x $ , anche se mi sa che ho approssimato male il logaritmo

Ahhh ho capito (forse) , praticamente se $ x -> 1 $ si ha che $ ln(1) = 0 $ , per determinare un asintotico deve ovviamente avere stesso carattere, quindi possiamo approssimarlo con $ x - 1 $ , infatti se $ x -> 1 $ si ha $ 1 - 1 = 0 $ cioè ha stesso carattere. Giusto ?

Noisemaker
"Oiram92":
Si giusto, ma :
per $ x -> 1 $ si ha $ sqrtx -> 1 $
però per $ x -> 1 $ si ha $ ln x -> 1/x $ ?

Quindi $ 1 * 1/x = 1/x $ , anche se mi sa che ho approssimato male il logaritmo

Ahhh ho capito (forse) , praticamente se $ x -> 1 $ si ha che $ ln(1) = 0 $ , per determinare un asintotico deve ovviamente avere stesso carattere, quindi possiamo approssimarlo con $ x - 1 $ , infatti se $ x -> 1 $ si ha $ 1 - 1 = 0 $ cioè ha stesso carattere. Giusto ?


ma no se $ x -> 1 $ si ha $ ln x ->x-1 $

Oiram92
Mi sono andato a guardare di nuovo la formula di taylor e come sempre hai ragione tu ;)
$ ln(x) = ln(1) + (1/1) (x - 1) = 0 + x - 1 = x - 1 $
Grazie ancora ! Non so proprio come farei senza di te ;)

Oiram92
Abuso della vostra pazienza per l'ultima volta (per oggi ;)) per verificare se ho compreso tutto.
Esercizio random :

$ f(x) = ln(x) / (x^alpha arctan(1/x)) $ con $ alpha > 0 $ , è integrabile in $ [1 , +oo[ $ ?

Svolgimento
Campo di Esistenza : $ f : ] 0 , +oo[ -> R $

Problema in $ 1 $
per $ x -> 1 $ , otteniamo :

$ ln(x) / (x^alpha arctan(1/x)) = ln(x) / (x^alpha * c ) ∼ (x-1)/x^alpha < x / x^alpha = 1 / x^(alpha - 1) $
Quindi si ha la convergenza per $ alpha - 1 < 1 hArr alpha < 2 $

Problema in $ +oo $
per $ x -> +oo $ , otteniamo :

$ ln(x) / (x^alpha arctan(1/x)) = ln(x) / (x^alpha 1/x (arctan(1/x)) / (1/x) ) = ln(x) / x^(alpha - 1) < x / x^(alpha - 1) = 1 / x^alpha $
Quindi si ha la convergenza per $ alpha > 1 $
Quindi possiamo concludere che la funzione è integrabile $ hArr 1 < alpha < 2 $

Noisemaker
"Oiram92":

Campo di Esistenza : $ f : ] 0 , +oo[ -> R $

:smt023
"Oiram92":


Problema in $ 1 $
per $ x -> 1 $ , otteniamo :

$ ln(x) / (x^alpha arctan(1/x)) = ln(x) / (x^alpha * c ) ∼ (x-1)/x^alpha < x / x^alpha = 1 / x^(alpha - 1) $
Quindi si ha la convergenza per $ alpha - 1 < 1 hArr alpha < 2 $


perchè problema in $1$? avrà problemi in $0$ o no? in $x=1$ quella funzione vale $0$ quindi è continua e certamente integrabile! quindi la stima che segue non va bene

"Oiram92":

Problema in $ +oo $
per $ x -> +oo $ , otteniamo :

$ ln(x) / (x^alpha arctan(1/x)) = ln(x) / (x^alpha 1/x (arctan(1/x)) / (1/x) ) = ln(x) / x^(alpha - 1) < x / x^(alpha - 1) = 1 / x^alpha $
Quindi si ha la convergenza per $ alpha > 1 $
Quindi possiamo concludere che la funzione è integrabile $ hArr 1 < alpha < 2 $


qui c'è un errore nell'applicazione delle proprietà delle potente ...

Oiram92
Giusto, ieri mi sarò fuso troppo il cervello..
A mente fresca ho visto l'errore in $ +oo $
Problema in $ +oo $
Per $ x -> +oo $
$ ln(x) / (x^alpha arctan(1/x)) = ln(x) / (x^alpha 1/x (arctan(1/x)) / (1/x) ) = ln(x) / x^(alpha - 1) < x / x^(alpha - 1) = 1 / x^(alpha - 2) $
Che converge solo se $ alpha - 2 > 1 hArr alpha > 3 $

Però ho un dubbio in quello in $ 0 $
Problema in $ 0 $
Per $ x -> 0 $
$ ln(x)/x^a 1/arctan(1/x) = ln(x)/x^(alpha - 1) (1/x)/arctan(1/x) = ln(x)/x^(alpha-1) * 1 $

A questo punto inizio ad aver un dubbio, come posso approssimare il $ ln(x) $ per $ x -> 0 $ ?
Con Taylor sarebbe :
$ ln(x) = ln(0) + 1/0(x - 0) = -oo + oo $ :shock:

A meno che si procede con una disuguaglianza :
$ ln(x)/x^a 1/arctan(1/x) = ln(x)/x^(alpha - 1) (1/x)/arctan(1/x) = ln(x)/x^(alpha-1) < ln(x+1)/x^(alpha-1) ~ x / x^(alpha-1) = 1 / x^(alpha-2) $
Che converge solo se $ alpha - 2 < 1 hArr alpha < 3 $
Quindi infine, si avrebbe l'integrabilità per $ alpha = 3 $ ?

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