Integrabilità in un intervallo
Salve a tutti, ho qualche problema nella comprensione degli esercizi che richiedono se una funzione è integrabile in un determinato intervallo.
Dal mio libro ho la seguente definizione (Per gli integrali impropri di 1° specie) :
Sia $ f:[a, +oo[ -> R $ , tale funzione si dice integrabile se $ EE lim_(z->+oo) int_(a)^(z) f(x) dx $ (finito o infinito)
Quindi per risolvere un esercizio del tipo :
$ f(x) = ((arctan(x))/sqrtx) sin(1/x) $ è integrabile in $ [1, +oo[ $ ?
Io procederei innanzitutto determinando che $ f:]0, +oo[ -> R $ (quindi è continua in $ R^+ $ con l'esclusione di 0 che è un punto di discontinuità)
Poi applicando la definizione dovrei calcolare :
$ lim_(z->+oo) int_(1)^(z) ((arctan(x))/sqrtx) sin(1/x) dx $
Quindi dovrei risolvere l'integrale e poi calcolarne il $ lim $ e vedere se esiste finito o infinito ?
Guardando altri esercizi svolti su questo forum ho visto che in teoria si dovrebbe fare :
$ lim_(x->1) ((arctan(x))/sqrtx) sin(1/x) = arctan(1) sin(1) in R $
$ lim_(x->+oo) ((arctan(x))/sqrtx) sin(1/x) = 0 in R $
Cioè calcolare i $ lim $ dell'integranda agli estremi dell'intervallo di integrazione che ci da l'esercizio..
Sono confuso
qual'e il procedimento da applicare ?
Magari se esiste una scaletta dei controlli da effettuare ve ne sarei grato
Dal mio libro ho la seguente definizione (Per gli integrali impropri di 1° specie) :
Sia $ f:[a, +oo[ -> R $ , tale funzione si dice integrabile se $ EE lim_(z->+oo) int_(a)^(z) f(x) dx $ (finito o infinito)
Quindi per risolvere un esercizio del tipo :
$ f(x) = ((arctan(x))/sqrtx) sin(1/x) $ è integrabile in $ [1, +oo[ $ ?
Io procederei innanzitutto determinando che $ f:]0, +oo[ -> R $ (quindi è continua in $ R^+ $ con l'esclusione di 0 che è un punto di discontinuità)
Poi applicando la definizione dovrei calcolare :
$ lim_(z->+oo) int_(1)^(z) ((arctan(x))/sqrtx) sin(1/x) dx $
Quindi dovrei risolvere l'integrale e poi calcolarne il $ lim $ e vedere se esiste finito o infinito ?
Guardando altri esercizi svolti su questo forum ho visto che in teoria si dovrebbe fare :
$ lim_(x->1) ((arctan(x))/sqrtx) sin(1/x) = arctan(1) sin(1) in R $
$ lim_(x->+oo) ((arctan(x))/sqrtx) sin(1/x) = 0 in R $
Cioè calcolare i $ lim $ dell'integranda agli estremi dell'intervallo di integrazione che ci da l'esercizio..
Sono confuso
qual'e il procedimento da applicare ?Magari se esiste una scaletta dei controlli da effettuare ve ne sarei grato
Risposte
facciamo ordine :
\begin{align}
\int_{0}^{+\infty}\frac{\ln x}{x^{\alpha}\arctan \frac{1}{x}}
\end{align}
la funzione è definita positiva per ogni valore dell'intervallo $(0,+\infty);$ dunque l'intehrale risulta improprio in entrambi gli estremi di integrazione; possiamo allora considerare il comportamento asintotico della funzione integranda:
\begin{align}
\int_{0}^{+\infty}\frac{\ln x}{x^{\alpha}\arctan \frac{1}{x}}
\end{align}
la funzione è definita positiva per ogni valore dell'intervallo $(0,+\infty);$ dunque l'intehrale risulta improprio in entrambi gli estremi di integrazione; possiamo allora considerare il comportamento asintotico della funzione integranda:
[*:1wag9zil] se $x\to0^+$
\begin{align}
\frac{\ln x}{x^{\alpha}\arctan \frac{1}{x}}\sim \frac{\ln x}{x^{\alpha}\cdot \frac{\pi}{2}}=\frac{1}{\ln^{-1}x\cdot x^{ \alpha} \cdot \frac{\pi}{2}}
\end{align}
e questa converge solo se $\alpha<1$[/*:m:1wag9zil]
[*:1wag9zil]se $x\to+\infty$
\begin{align}
\frac{\ln x}{x^{\alpha}\arctan \frac{1}{x}}\sim \frac{\ln x}{x^{\alpha}\cdot \frac{1}{x}}=\frac{1}{\ln^{-1}x\cdot x^{ \alpha-1} }
\end{align}
e questa converge solo se $\alpha-1>1,\alpha>2$[/*:m:1wag9zil][/list:u:1wag9zil]
Come si vede non esistono valori di $\alpha$ per cui quell'integrale risulti convergente
Adesso è chiaro 
Mi togli un ultimo dubbio ?
in generale è possibile utilizzare l'approssimazione di taylor per :
$ ln(x) $ se $ x -> 0 $ oppure se $ x -> +oo $ ?
Ad esempio se $ x -> 1 $ l'approssimazione del logaritmo è $ ln(1) + x - 1 = x - 1 $
Però non ho idea di come si può approssimare per i due $ x $ che dicevo prima (e non sono nemmeno sicuro che si possa fare). infatti :
per $ x -> 0 $ sarebbe $ ln(x) = ln(0) + 1/0 (x - 0) = -oo + oo*0 $
per $ x -> +oo $ sarebbe $ ln(x) = ln(+oo) + 0 ( x -oo) = +oo + [ 0*(-oo)] $
Da questo dovrei dedurre che in questi particolari casi non si può approssimare con taylor?
Mi togli un ultimo dubbio ?
in generale è possibile utilizzare l'approssimazione di taylor per :
$ ln(x) $ se $ x -> 0 $ oppure se $ x -> +oo $ ?
Ad esempio se $ x -> 1 $ l'approssimazione del logaritmo è $ ln(1) + x - 1 = x - 1 $
Però non ho idea di come si può approssimare per i due $ x $ che dicevo prima (e non sono nemmeno sicuro che si possa fare). infatti :
per $ x -> 0 $ sarebbe $ ln(x) = ln(0) + 1/0 (x - 0) = -oo + oo*0 $
per $ x -> +oo $ sarebbe $ ln(x) = ln(+oo) + 0 ( x -oo) = +oo + [ 0*(-oo)] $
Da questo dovrei dedurre che in questi particolari casi non si può approssimare con taylor?
per utilizzare il teorema di Taylor, la funzione deve essere derivabile nel punto $x_0$ in cui vuoi svilupparla ...in $0$ il logaritmo com'è messo?
beh dunque il $ ln(x) $ è definito nell'intervallo $ ] 0 , +oo [ $
Una funzione è derivabile se esiste il limite del rapporto incrementale per $ x -> x0 $
Il logaritmo è derivabile (e continua) in tutto l'insieme di definizione (con esclusione degli estremi).
Ecco ! Quindi non essendo verificata la derivabilità negli estremi del dominio, allora non possiamo applicare il teorema di Taylor. Ma possiamo applicarlo per qualunque valore interno, diciamo per $ 0 < x < +oo $
Chiarissimo !
Quindi (sempre parlando in generale), per risolvere un esercizio del genere potrei anche applicare una disuguaglianza del tipo :
$ ln(x) > ln(x+1) $ dato che sappiamo che il logaritmo è una funzione decrescente.
Adesso si che possiamo applicare taylor e quindi si avrebbe che :
$ ln(x + 1) = ln(0 + 1) + 1/(0 +1) (x - 0) = x $
Una funzione è derivabile se esiste il limite del rapporto incrementale per $ x -> x0 $
Il logaritmo è derivabile (e continua) in tutto l'insieme di definizione (con esclusione degli estremi).
Ecco ! Quindi non essendo verificata la derivabilità negli estremi del dominio, allora non possiamo applicare il teorema di Taylor. Ma possiamo applicarlo per qualunque valore interno, diciamo per $ 0 < x < +oo $
Chiarissimo !
Quindi (sempre parlando in generale), per risolvere un esercizio del genere potrei anche applicare una disuguaglianza del tipo :
$ ln(x) > ln(x+1) $ dato che sappiamo che il logaritmo è una funzione decrescente.
Adesso si che possiamo applicare taylor e quindi si avrebbe che :
$ ln(x + 1) = ln(0 + 1) + 1/(0 +1) (x - 0) = x $
Grazie mille ! Allora se qualche mod vuole può anche chiudere la discussione 
ho risolto i miei dubbi
ho risolto i miei dubbi
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