Integrabilita' e ordine di infiniti/infinitesimi
IPOTESI: $f$ e $g$ sono funzioni limitate nell'intervallo $[a, \infty)$
TESI:
Se $\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)} = 0$, allora:
- se $\int_a^{\infty}g(x)$ converge, allora converge anche $\int_a^{\infty}f(x) $.
DIMOSTRAZIONE (traccia):
Si puo' dire che $\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)} = 0$ se e solo se $g(x)$ e' un infinito di ordine maggiore per $x\to\infty$ (tende a infinito piu velocemente)?
Se si potrei dire che $g(x)$ e' di grado maggiore di $f(x)$, e che quindi se poi risulta che se $\int_a^{\infty}g(x)$ converge, allora $\int_a^{\infty}f(x) $ converge per forza essendo $f(x)$ di grado inferiore?
TESI:
Se $\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)} = 0$, allora:
- se $\int_a^{\infty}g(x)$ converge, allora converge anche $\int_a^{\infty}f(x) $.
DIMOSTRAZIONE (traccia):
Si puo' dire che $\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)} = 0$ se e solo se $g(x)$ e' un infinito di ordine maggiore per $x\to\infty$ (tende a infinito piu velocemente)?
Se si potrei dire che $g(x)$ e' di grado maggiore di $f(x)$, e che quindi se poi risulta che se $\int_a^{\infty}g(x)$ converge, allora $\int_a^{\infty}f(x) $ converge per forza essendo $f(x)$ di grado inferiore?
Risposte
Si puo' dire che limx→∞f(x)/g(x)=0 se e solo se g(x) e' un infinito di ordine maggiore per x→∞ (tende a infinito piu velocemente)?
Risponditi da solo. Per esempio prendi $g(x)=1$, $f(x)=0$. Ti pare che funzioni?
E poi, nel seguito fai riferimento a fantomatici "infiniti di grado inferiore" ad altri, come se fosse un criterio di convergenza di integrali. Ma questo è proprio quello che devi dimostrare!
Scusami, vox, ma se $g$ fosse un infinito in $+oo$, come farebbe l'integrale $\int_a^(+oo)g(x)" d"x$ ad essere convergente?
Tra l'altro, hai per ipotesi che $g$ è limitata, quindi doppio errore.
Ad ogni modo, due suggerimenti: 1) le ipotesi vanno riviste (la sola limitatezza e l'esistenza del limite mi pare non bastino, però potrei sbagliarmi); 2) perchè non usare la definizione di limite?
Tra l'altro, hai per ipotesi che $g$ è limitata, quindi doppio errore.
Ad ogni modo, due suggerimenti: 1) le ipotesi vanno riviste (la sola limitatezza e l'esistenza del limite mi pare non bastino, però potrei sbagliarmi); 2) perchè non usare la definizione di limite?
"Gugo82":
Scusami, vox, ma se $g$ fosse un infinito in $+oo$, come farebbe l'integrale $\in_a^(+oo)g(x)" d"x$ ad essere convergente?
Tra l'altro, hai per ipotesi che $g$ è limitata, quindi doppio errore.
Gia' gia'. Ginocchia sui ceci.
"Gugo82":
Ad ogni modo, due suggerimenti: 1) le ipotesi vanno riviste (la sola limitatezza e l'esistenza del limite mi pare non bastino, però potrei sbagliarmi); 2) perchè non usare la definizione di limite?
Si, purtroppo ho solo la sola limitatezza ed esistenza del limite.
Definizione di limite per dimostrare che $g> f$, e $g(x) > f(x)$, a partire da una certa x???
--------
Per la definizione di limite di funzione ho che:
definendo $h(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$ e $A = [a,\infty)$
$\lim_{x\to\infty}h(x) = 0 \Leftrightarrow \forall\epsilon>0,\exists k>0 : \forall x \in A: x>k \rightarrow |h(x) - 0| < \epsilon$
Quindi:
$h(x) < \epsilon$ (posso togliere il valore assoluto)
$\frac{f(x)}{g(x)} < \epsilon$
Se considero $\epsilon = 1$ ho che $\frac{f(x)}{g(x)} < 1$ e quindi $f(x) < g(x)$
Mi basta questo per dimostrare che $f(x) < g(x)$???
Se si, poi cerchero' un modo per dimostrare che:
se $f(x) < g(x)$$
$\int_a^{\infty}f(x) < \int_a^{\infty}g(x) $.
E quindi supposto $ \int_a^{\infty}g(x) $ convergente, anche $\int_a^{\infty}f(x) $ lo sara'
definendo $h(x) = \frac{f(x)}{g(x)}$ e $A = [a,\infty)$
$\lim_{x\to\infty}h(x) = 0 \Leftrightarrow \forall\epsilon>0,\exists k>0 : \forall x \in A: x>k \rightarrow |h(x) - 0| < \epsilon$
Quindi:
$h(x) < \epsilon$ (posso togliere il valore assoluto)
$\frac{f(x)}{g(x)} < \epsilon$
Se considero $\epsilon = 1$ ho che $\frac{f(x)}{g(x)} < 1$ e quindi $f(x) < g(x)$
Mi basta questo per dimostrare che $f(x) < g(x)$???
Se si, poi cerchero' un modo per dimostrare che:
se $f(x) < g(x)$$
$\int_a^{\infty}f(x) < \int_a^{\infty}g(x) $.
E quindi supposto $ \int_a^{\infty}g(x) $ convergente, anche $\int_a^{\infty}f(x) $ lo sara'
Sei sicuro di non dover supporre a priori che le funzioni siano positive?
Quello che mi pare strano è il poter levare il valore assoluto così impunemente...
Voglio dire quando una funzione è infinitesima, mica è sempre dalla stessa parte rispetto a $0$ (esempio classico, $sinx/x$).
Ad ogni modo, le ipotesi poste non sono nemmeno sufficienti a garantire l'esistenza del rapporto $f/g$.
Si deve supporre innanzitutto che gli zeri di $g$ non si accumulino a $+oo$; inoltre non basta che $f,g$ siano limitate: le funzioni devono essere ambedue integrabili alla Riemann su ogni intervallo limitato (altrimenti non hai alcuna speranza di poter sfruttare la definizione di limite, che da informazioni circa quel che succede definitivamente intorno a $+oo$).
Ad esempio, pongo $a=1$ e mi metto in $[1,+oo[$; definisco:
$g(x)=1/x^2$
$f(x):=\{(0, ", se " 1<=x<=2 " è irrazionale"),(1, ", se " 1<=x<=2 " è razionale"),(1/(x-1)^3, ", se " 2<=x):}$
evidentemente $lim_(xto +oo) (f(x))/(g(x))=0$, l'integrale $\int_1^(+oo)g " d"x$ è convergente epperò $\int_1^(+oo) f" d"x$ non esiste.
Nota che in questo caso $f$ non è integrabile su $[1,2] \subset [1,+oo[$, pur essendo limitata.
Per curiosità, dove l'hai preso 'sto esercizio?
EDIT: Mi ero dimenticato che le funzioni dovevano essere limitate.
Voglio dire quando una funzione è infinitesima, mica è sempre dalla stessa parte rispetto a $0$ (esempio classico, $sinx/x$).
Ad ogni modo, le ipotesi poste non sono nemmeno sufficienti a garantire l'esistenza del rapporto $f/g$.
Si deve supporre innanzitutto che gli zeri di $g$ non si accumulino a $+oo$; inoltre non basta che $f,g$ siano limitate: le funzioni devono essere ambedue integrabili alla Riemann su ogni intervallo limitato (altrimenti non hai alcuna speranza di poter sfruttare la definizione di limite, che da informazioni circa quel che succede definitivamente intorno a $+oo$).
Ad esempio, pongo $a=1$ e mi metto in $[1,+oo[$; definisco:
$g(x)=1/x^2$
$f(x):=\{(0, ", se " 1<=x<=2 " è irrazionale"),(1, ", se " 1<=x<=2 " è razionale"),(1/(x-1)^3, ", se " 2<=x):}$
evidentemente $lim_(xto +oo) (f(x))/(g(x))=0$, l'integrale $\int_1^(+oo)g " d"x$ è convergente epperò $\int_1^(+oo) f" d"x$ non esiste.
Nota che in questo caso $f$ non è integrabile su $[1,2] \subset [1,+oo[$, pur essendo limitata.
Per curiosità, dove l'hai preso 'sto esercizio?
EDIT: Mi ero dimenticato che le funzioni dovevano essere limitate.
"Gugo82":
Quello che mi pare strano è il poter levare il valore assoluto così impunemente...
Voglio dire quando una funzione è infinitesima, mica è sempre dalla stessa parte rispetto a $0$ (esempio classico, $sinx/x$).
Perfettamente d'accordo. Io penso che questo sia un criterio per funzioni positive.
Potrebbe essere utile questa dispensa:
http://www.dm.uniba.it/~pisani/matematica/Integrali.pdf
vedi pagina 9, criterio 1.30.
Avete ragione, ma posso aggirare il problema del valore assoluto con il "Criterio di assoluta convergenza"? E mi rende anche le funzioni positive, meglio ancora per poter utilizzare dopo il criterio di confronto asintotico
Il Criterio di assoluta convergenza afferma che:
se $\int_a^\infty|f(x)|dx$ converge, allora converge anche $\int_a^\inftyf(x)dx$
Dopodiche' la dove ho tolto "brutalmente" il valore assoluto, non avro' problemi (se considero fin dall'inizio i valori assoluti delle funzioni, anziche le funzioni).
@dissonance: grazie per la dispensa. Ne ho scaricate molte altre ma erano solo di 3-4 pagine massimo.
@Gugo82: Sicuramente sbaglio a scrivere le ipotesi tesi. Ho scritto nella tesi: "SE il limite del rapporto delle funzioni e' zero... allora...". Dovrei scrivere nell'ipotesi che tale limite e' zero, per essere piu chiaro? E' sbagliato mettere dei "SE" anche nella tesi?. (E' un esercizio che mi e' stato assegnato dal professore. Il testo e' corretto).
Adesso mi faccio una doccia, poi cerco di scrivere una versione piu completa del problema con il criterio di assoluta convergenza, e con una inequivocabile suddivisione tra ipotesi e tesi
Il Criterio di assoluta convergenza afferma che:
se $\int_a^\infty|f(x)|dx$ converge, allora converge anche $\int_a^\inftyf(x)dx$
Dopodiche' la dove ho tolto "brutalmente" il valore assoluto, non avro' problemi (se considero fin dall'inizio i valori assoluti delle funzioni, anziche le funzioni).
@dissonance: grazie per la dispensa. Ne ho scaricate molte altre ma erano solo di 3-4 pagine massimo.
@Gugo82: Sicuramente sbaglio a scrivere le ipotesi tesi. Ho scritto nella tesi: "SE il limite del rapporto delle funzioni e' zero... allora...". Dovrei scrivere nell'ipotesi che tale limite e' zero, per essere piu chiaro? E' sbagliato mettere dei "SE" anche nella tesi?. (E' un esercizio che mi e' stato assegnato dal professore. Il testo e' corretto).
Adesso mi faccio una doccia, poi cerco di scrivere una versione piu completa del problema con il criterio di assoluta convergenza, e con una inequivocabile suddivisione tra ipotesi e tesi
IPOTESI:
$f$ e $g$ sono funzioni limitate nell'intervallo $[a, \infty)$
$\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)} = 0$
$\int_a^{\infty}g(x)$ converge
TESI:
- converge anche $\int_a^{\infty}f(x) $.
DIMOSTRAZIONE
definendo $h(x) = |\frac{f(x)}{g(x)}|$ e $A = [a,\infty)$ ho, per la definizione di limite di funzione:
$\lim_{x\to\infty}h(x) = 0 \Leftrightarrow \forall\epsilon>0,\exists k>0 : \forall x \in A: x>k \rightarrow |h(x) - 0| < \epsilon$
Quindi:
$h(x) < \epsilon$ (posso togliere il valore assoluto, perche' doppio)
$|\frac{f(x)}{g(x)}| < \epsilon$
Se considero $\epsilon = 1$ ho che $|\frac{f(x)}{g(x)}| < 1$ e quindi $|f(x)| < |g(x)|$ (NON sono sicuro su questo punto: per $\epsilon$ estremamente piccoli, esistera' un $k$ molto grande a partire dal quale $|f(x)| < |g(x)|$ sara' vera per ogni x>k?)
In questo momento sto considerando $|f(x)| $ e $ |g(x)|$. Ma il criterio di assoluta convergenza mi dice che: se $\int_a^\infty|F(x)|$ converge, allora converge anche $\int_a^\inftyF(x)$, per ogni $F(x)$.
Il criterio di confronto (criterio 1.29 del pdf appena linkato) mi permette quindi di concludere la dimostrazione?
$f$ e $g$ sono funzioni limitate nell'intervallo $[a, \infty)$
$\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)} = 0$
$\int_a^{\infty}g(x)$ converge
TESI:
- converge anche $\int_a^{\infty}f(x) $.
DIMOSTRAZIONE
definendo $h(x) = |\frac{f(x)}{g(x)}|$ e $A = [a,\infty)$ ho, per la definizione di limite di funzione:
$\lim_{x\to\infty}h(x) = 0 \Leftrightarrow \forall\epsilon>0,\exists k>0 : \forall x \in A: x>k \rightarrow |h(x) - 0| < \epsilon$
Quindi:
$h(x) < \epsilon$ (posso togliere il valore assoluto, perche' doppio)
$|\frac{f(x)}{g(x)}| < \epsilon$
Se considero $\epsilon = 1$ ho che $|\frac{f(x)}{g(x)}| < 1$ e quindi $|f(x)| < |g(x)|$ (NON sono sicuro su questo punto: per $\epsilon$ estremamente piccoli, esistera' un $k$ molto grande a partire dal quale $|f(x)| < |g(x)|$ sara' vera per ogni x>k?)
In questo momento sto considerando $|f(x)| $ e $ |g(x)|$. Ma il criterio di assoluta convergenza mi dice che: se $\int_a^\infty|F(x)|$ converge, allora converge anche $\int_a^\inftyF(x)$, per ogni $F(x)$.
Il criterio di confronto (criterio 1.29 del pdf appena linkato) mi permette quindi di concludere la dimostrazione?
"voxzzzisf":
@Gugo82: Sicuramente sbaglio a scrivere le ipotesi tesi. Ho scritto nella tesi: "SE il limite del rapporto delle funzioni e' zero... allora...". Dovrei scrivere nell'ipotesi che tale limite e' zero, per essere piu chiaro? E' sbagliato mettere dei "SE" anche nella tesi?.
Non c'entra nulla la grammatica.
Qui sono proprio insufficienti le ipotesi, come mostra il mio controesempio.
"voxzzzisf":
(E' un esercizio che mi e' stato assegnato dal professore. Il testo e' corretto).
Valgono le considerazioni fatte sopra. Il testo, così com'è scritto, non è completo.
Questo e' il testo dell'esercizio:
Ok, butta quel libro di Analisi e prendine uno serio.
Ahahah magari. E' un esercizio assegnato e che purtroppo devo assolutamente fare.
(Hai dato un'occhiata alla mia ultima versione? ho preso spunto dal teorema 1.4 scritto qui: http://www.dm.uniba.it/~lucente/didattica/0708/int_gen_0708.pdf )
Purtroppo qui parla di funzioni continue strettamente positive.
Le mie sono solo positive
EDIT: Eppure l'integrabilita' secondo Riemann presuppone la CONTINUITA'!. Credo sia dato per scontato (anche troppo scontato) che sia f(x) che g(x) debbano essere continue, per essere convergenti.
(Hai dato un'occhiata alla mia ultima versione? ho preso spunto dal teorema 1.4 scritto qui: http://www.dm.uniba.it/~lucente/didattica/0708/int_gen_0708.pdf )
Purtroppo qui parla di funzioni continue strettamente positive.
Le mie sono solo positive
EDIT: Eppure l'integrabilita' secondo Riemann presuppone la CONTINUITA'!. Credo sia dato per scontato (anche troppo scontato) che sia f(x) che g(x) debbano essere continue, per essere convergenti.
toh! Vox, ma sei di Bari? Poi, vedi che si parla di funzioni positive? E chi ti ha detto che l'integrabilità secondo Riemann presuppone la continuità?
Scusa, leggi il pdf di Pisani. Lui sostanzialmente dice: quando abbiamo una funzione positiva definita in $[a, infty)$, integrabile sugli intervalli limitati (e stop! non chiede la continuità), di sicuro esiste il limite $lim_{c\toinfty}int_a^cf(t)dt$. Allora possiamo usare questa relazione: $int_a^inftyf(t)dt=sum_{n=0}^inftyint_(a+n)^(a+n+1)f(t)dt$. Questa serie è a termini positivi e qui sopra si possono applicare i criteri di confonto per serie a termini positivi (lo ripeto 100 volte, perché è questa la chiave di volta dei criteri di confronto).
Poi, passare dal confronto al confronto asintotico è solo questione di applicare la definizione di limite.
Scusa, leggi il pdf di Pisani. Lui sostanzialmente dice: quando abbiamo una funzione positiva definita in $[a, infty)$, integrabile sugli intervalli limitati (e stop! non chiede la continuità), di sicuro esiste il limite $lim_{c\toinfty}int_a^cf(t)dt$. Allora possiamo usare questa relazione: $int_a^inftyf(t)dt=sum_{n=0}^inftyint_(a+n)^(a+n+1)f(t)dt$. Questa serie è a termini positivi e qui sopra si possono applicare i criteri di confonto per serie a termini positivi (lo ripeto 100 volte, perché è questa la chiave di volta dei criteri di confronto).
Poi, passare dal confronto al confronto asintotico è solo questione di applicare la definizione di limite.
Insomma, come ho detto in precedenza, ci sono una marea di ipotesi da aggiungere al testo.
Con quelle che hai non funziona proprio nulla, purtroppo.
Mi associo alla "protesta" di dissonance.
Se dico Teorema di Vitali-Lebesgue ti viene in mente qualcosa?
Con quelle che hai non funziona proprio nulla, purtroppo.
"dissonance":
E chi ti ha detto che l'integrabilità secondo Riemann presuppone la continuità?
Mi associo alla "protesta" di dissonance.
Se dico Teorema di Vitali-Lebesgue ti viene in mente qualcosa?
@gugo82: Ahi ahi ci devo riuscire lo stesso pero', il testo e' proprio quello. Pensa pure che sono stati corretti i testi di altri due esercizi, ma non di questo.
Purtroppo il tuo controesempio e' micidiale .
Teorema di chi? Spero non stai parlando con me
@Dissonance: No sono siciliano. Il criterio di confronto 1.29 del pdf di pisani presuppone solo positivita e che f(x)$\leq$g(x) per ogni x a partire da un certo numero, da dove trai che deve essere anche integrabile sugli intervalli limitati?
Purtroppo anche altrove trovo diciture del tipo:
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Criterio del confronto. Siano f(x), g(x) due funzioni definite su [a,+∞[ e integrabili
in ogni intervallo limitato [a, b] con a < b; se g(x) e' integrabile su [a,+∞[ ed esiste
x0 ≥ a tale che 0 ≤ f(x) ≤ g(x) ∀x ≥ x0, allora anche f(x) e' integrabile su
[a,+∞[.
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Purtroppo il tuo controesempio e' micidiale
.Teorema di chi? Spero non stai parlando con me
@Dissonance: No sono siciliano. Il criterio di confronto 1.29 del pdf di pisani presuppone solo positivita e che f(x)$\leq$g(x) per ogni x a partire da un certo numero, da dove trai che deve essere anche integrabile sugli intervalli limitati?
Purtroppo anche altrove trovo diciture del tipo:
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Criterio del confronto. Siano f(x), g(x) due funzioni definite su [a,+∞[ e integrabili
in ogni intervallo limitato [a, b] con a < b; se g(x) e' integrabile su [a,+∞[ ed esiste
x0 ≥ a tale che 0 ≤ f(x) ≤ g(x) ∀x ≥ x0, allora anche f(x) e' integrabile su
[a,+∞[.
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"voxzzzisf":
@gugo82: Ahi ahi ci devo riuscire lo stesso pero', il testo e' proprio quello. Pensa pure che sono stati corretti i testi di altri due esercizi, ma non di questo.
Purtroppo il tuo controesempio e' micidiale
Teorema di chi? Spero non stai parlando con me
Quel teorema ti caratterizza la classe delle funzioni limitate integrabili alla Riemann sui compatti come le funzioni continue q.o. rispetto alla misura di Lebesgue.
"voxzzzisf":
[...] Purtroppo anche altrove trovo diciture del tipo:
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Criterio del confronto. Siano f(x), g(x) due funzioni definite su [a,+∞[ e integrabili
in ogni intervallo limitato [a, b] con a < b; se g(x) e' integrabile su [a,+∞[ ed esiste
x0 ≥ a tale che 0 ≤ f(x) ≤ g(x) ∀x ≥ x0, allora anche f(x) e' integrabile su
[a,+∞[.
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Le trovi perchè (secondo me) queste sono le ipotesi giuste in cui provare il teorema.
Le tua ipotesi $lim_(x\to +oo) (f(x))/(g(x))=0$ è strettamente più forte di (nel senso che implica e non è equivalente a) $f(x)<=g(x)$; inoltre presuppone che gli zeri di $g$ non si accumulino intorno a $+oo$.
Secondo me se vai dal prof. a dirgli queste cose, egli ne sarà contento (a parte casi patologici): interrogandolo su queste cose fai vedere che ti interessi veramente alla materia e non fai gli esercizi meccanicamente.
Hey hey gli ho mandato una emaile ci sono novita':
"f and g must be differentiable on every closed interval contained in [a,inf). I assumed that this was clear since I wrote down the indefinite integrals which would not make sense otherwise but perhaps I should have explained this explicitly"
Devono essere derivabili in ogni intervallo chiuso. Niente roba alla Dirichlet, quindi.
Il resto mi sembra un po strano, non ho capito perche' lo dava per scontato: quale integrali indefiniti?
Comunque ho gia ho qualcosa in piu.
"f and g must be differentiable on every closed interval contained in [a,inf). I assumed that this was clear since I wrote down the indefinite integrals which would not make sense otherwise but perhaps I should have explained this explicitly"
Devono essere derivabili in ogni intervallo chiuso. Niente roba alla Dirichlet, quindi.
Il resto mi sembra un po strano, non ho capito perche' lo dava per scontato: quale integrali indefiniti?
Comunque ho gia ho qualcosa in piu.
Quindi adesso tali f e g sono derivabili in [a,inf).
Quindi tali funzioni sono continue in [a,inf)
Adesso rendendo le funzioni positive, posso usare comodamente i criteri di confronto e di confronto asintotico per risolvere i miei due problemi!!
Vado a fare colazione e imposto una soluzione.
Quindi tali funzioni sono continue in [a,inf)
Adesso rendendo le funzioni positive, posso usare comodamente i criteri di confronto e di confronto asintotico per risolvere i miei due problemi!!
Vado a fare colazione e imposto una soluzione.
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