$\int_0^\alpha(3sinx+sin(3x))/(cos^2(x))$

[Kashaman]

$ (3sinx+sin(3x))/(cos^2(x))= 4( sin(x)/(cos^2(x))) +2 sinx $Salve ragazzi, ho questo quesito :
Sia dato $ cos(\alpha)!=0 => \alpha \notin uu_k ( { \pi/2+k\pi | k \in ZZ} $
$\int_0^\alpha(3sinx+sin(3x))/(cos^2(x)) dx$ (1) , determinare per quali $\alpha \in RR$ $(1)=2$

Ho ragionato al modo seguente. Innanzi tutto scriviamocelo in un forma più comoda :
si ha che :
$sin(3x)= sin(2x + x) = sin(2x)cos(x)+cos(2x)sin(x)=2sin(x)cos^2(x)$$+cos^2(x)sinx - sinx + cos^2(x) sinx $ da cui
$(3sinx+sin(3x))/(cos^2(x))= 4( sin(x)/(cos^2(x))) +2 sinx$ , dunque
$(1) = \int_0^\alpha 4( sin(x)/(cos^2(x))) +\int_0^\alpha 2 sinx dx =-4/(cos(\alpha)) +4 - 2 cos(\alpha)+1 $(2)
impongo che $(2) = 2$ e che $cos(\alpha)!=0 => \alpha \notin uu_k ( { \pi/2+k\pi | k \in ZZ}$

Si ha che $(2)=2 <=> -2cos^2(\alpha) + cos(\alpha) -4 =0$ , pongo $t= cos(\alpha)$
e considero $2t^2-t+4=0$ (3)ma (3) non ammette soluzioni, quindi concluderei che non esiste $\alpha$ soddisfacente le condizioni richieste.

Sbaglio in qualcosa? Grazie mille.

[Seneca1]

$F(\alpha) = \int_0^\alpha(3sinx+sin(3x))/(cos^2(x)) dx$ è una funzione continua in $[0, a] \subset [0, \pi/2)$: $F(0) = 0$, $F(\alpha) \to +\infty$ per $\alpha \to \pi^{-}/2$. Per il teorema dei valori intermedi esiste $\alpha_0 \in [0, \pi/2 )$ tale che $F(\alpha_0) = 2$.

[Kashaman]

Allora nei miei conti avrò sbagliato certamente qualcosa...
Hai ragione, potevo vedere il tutto come se fosse una funzione integrale e utilizzare il teorema dei valori intermedi.
Ma ciò dimostrerebbe solo l'esistenza di un tale punto, o sbaglio?

[Seneca1]

Eh sì, infatti il mio intervento non voleva essere conclusivo.

[Cancer_309]

credo che tu abbia fatto confusione nella semplificazione dei seni e dei coseni... a me viene

$\(3sinx+sin(3x))/(cos^2(x)) = 2(sin(x)/(cos^2(x))) + 4 sin(x)$ ... in pratica con i coefficienti invertiti

a questo punto l'integrale risolto mi da

$\ int_0^alpha (2(sin(x)/(cos^2(x))) + 4 sin(x))dx = +2/cos(\alpha) -2 -4cos(\alpha) +4 $

tieni inoltre presente che l'integrale della funzione $\2(sin(x)/(cos^2(x)))$ è $\+2/cos(x)$

uguagliando a 2 e facendo la sostituzione con $\t$ ho

$\2t^2 - 1 = 0 $

$\t = +-sqrt(1/2)$

$\alpha = pi/4 $, escludo l'altra perchè non va bene