Insiemi separati e contigui

[newton]

1) Provare che i seguenti insiemi

B = (sin(-1^(n+1)pi/2)/n: n in N}
e

C = {n^2: n in N}
sono separati e contigui.

2) Calcolare il seguente limite di successione

lim (ncosn + e^(-n))/(n^3+1)
n

Si denota con:
pi = pi-greco
^ = elevamento a potenza
n in N = n appartenente all'insieme dei numeri naturali

In attesa di una vs risposta vi ringrazio anticipatamente.
Cordiali saluti.

Aggiunto 16 ore 46 minuti più tardi:

Grazie capoclasse.
Potresti inviarmi (se ti è possibile e non ti crea disturbo) lo svolgimento dell'esercizio degli insiemi separati e contigui che non ho capito bene?
In attesa di una tua risposta ti invio cordliali saluti.

Aggiunto 1 giorni più tardi:

Newton_1372 ma come hai fatto a trovare l'inf e il sup degli insiemi numerici?
Aspetto una tua risposta.
In attesa di una tua eventuale risposta ti invio saluti.

Aggiunto 5 ore 4 minuti più tardi:

Ma l'insieme C è n^2 non 1/(n^2) quindi come si procede?
Grazie Newton_1372

Aggiunto 5 minuti più tardi:

Inoltre potresti aiutarmi a svolgere cortesemente questo esercizio?

1) Studiare, al variare del parametro reale k, l'insieme numerico:

X = {sink - 1/2)*((2^n)/(log(2n+1)), n in N}

Comunque potresti darmi la tua e-mail così gli esercizi che non so svolgere li invio in allegato?
La mia e-mail è: [e-mail]

Aggiunto 13 ore 30 minuti più tardi:

Per "studiare un insieme numerico" significa trovare l'inf e il sup e specificare se sono rispettivamente min e/o max.

[Newton_1372]

Do qualche dritta. Riguardo all'esercizio 1), devi dimostrare in pratica che il max B = min C. Lo puoi fare cercando di vedere come si comportano le successioni.. B è oscillante, ma a valori sempre decrescenti. Si dimostra facilmente che il suo massimo è il primo termine della successione, quindi

[math]max(B)=1[/math]

mentre il minimo di B è il limite, che è zero:

[math] min(B)=0[/math]

.
Fa la stessa cosa con l'insieme C e constaterai che il minimo di C è sempre 1. Il che conclude la dimostrazione.

Aggiunto 2 minuti più tardi:

[math]\lim \frac{n\cos n +\frac{1}{e^n}}{n^3+1}[/math]

Aggiunto 8 minuti più tardi:

Forse è conveniente riscrivere la funzione come

[math]\lim \frac{n\cos n}{n^3+1}+\frac{1}{e^n(n^3+1)}[/math]

Aggiunto 5 minuti più tardi:

il secondo pezzo va notoriamente a 0. Rimane da studiare il primo pezzo, che riscriviamo così

[math] \frac{\cos n}{n^2+\frac{1}{n}[/math]

Usiamo il teorema del confronto. Cos n è notoriamente compreso fra -1 e 1. Possiamo cioè scrivere

[math]-\frac{1}{n^2+\frac{1}{n}}