Insiemi non misurabili
ciao a tutti!
Sto studiando gli insiemi misurabili e la loro definizione mi è chiara,solo non ne capisco l'utilità,dato che da quello che sto capendo pare che non ci siano insiemi NON misurabili.
dato lo spazio vettoriale $R^n$,tra i suoi sottoinsiemi ne esistono di non misurabili?
Io ho provato a trovarne a partire dal concetto di insiemi aperti e chiusi,ossia:
so che tutti i sottoinsiemi aperti e anche quelli chiusi sono misurabili,magari quelli che sono nè aperti nè chiusi sono non misurabili,invece anche per questi vale la definizione di misurabilità (da semplici considerazioni che ho fatto)...ma allora a che servono i teoremi che ho sugli insiemi misurabili (inclusi in $R^n$) che ci sono sul mio libro?!
chi mi darebbe una mano a capire?...penso sia facile rispondere per chi queste cose le ha studiate già,perciò scusate per la banalità della domanda!...vi ringrazio da subito
Sto studiando gli insiemi misurabili e la loro definizione mi è chiara,solo non ne capisco l'utilità,dato che da quello che sto capendo pare che non ci siano insiemi NON misurabili.
dato lo spazio vettoriale $R^n$,tra i suoi sottoinsiemi ne esistono di non misurabili?
Io ho provato a trovarne a partire dal concetto di insiemi aperti e chiusi,ossia:
so che tutti i sottoinsiemi aperti e anche quelli chiusi sono misurabili,magari quelli che sono nè aperti nè chiusi sono non misurabili,invece anche per questi vale la definizione di misurabilità (da semplici considerazioni che ho fatto)...ma allora a che servono i teoremi che ho sugli insiemi misurabili (inclusi in $R^n$) che ci sono sul mio libro?!
chi mi darebbe una mano a capire?...penso sia facile rispondere per chi queste cose le ha studiate già,perciò scusate per la banalità della domanda!...vi ringrazio da subito
Risposte
ciao... esistono insiemi che non sono misurabili
un pò artificiosi da costruire però cmq esistono... sarebbe stato troppo bello o forse troppo brutto se tutti gli insiemi di $RR^n$ fossero stati misurabili...questo vale per la misura di Lebesgue ma si generalizza ad una qualsiasi misura credo
un pò artificiosi da costruire però cmq esistono... sarebbe stato troppo bello o forse troppo brutto se tutti gli insiemi di $RR^n$ fossero stati misurabili...questo vale per la misura di Lebesgue ma si generalizza ad una qualsiasi misura credo
Puoi cercare qualcosa sugli insiemi di Vitali se ti interessa vedere un esempio di insieme non misurabile.
"miuemia":
ciao... esistono insiemi che non sono misurabili
un pò artificiosi da costruire però cmq esistono... sarebbe stato troppo bello o forse troppo brutto se tutti gli insiemi di $RR^n$ fossero stati misurabili...questo vale per la misura di Lebesgue ma si generalizza ad una qualsiasi misura credo
L'unica misura non atomica (cioè che da peso zero all'insieme ${x}$), ben definita su tutto l'insieme delle parti di $RR$ è quella banale. (Th. di Ulam mi pare).
mi associo agli altri: credo che le tue "semplici considerazioni" abbiano qualche falla da qualche parte. In effetti si può dimostrare che ogni misura che abbia delle buone proprietà (tipo la $\sigma$-additività) non riesce a misurare tutti gli insiemi (è uno dei lati negativi dell'assioma di scelta).
grazie a tutti...
david non ho capito quello che intendi...me lo spiegheresti in modo più semplice?
ubermensch,non capisco il mio errore:ho considerato un intervallo di R nè aperto nè chiuso e ho applicato ad esso la definizione di misurabilità in cui interviene un generico sottoinsieme E;essa mi sembra valida nel caso di E aperto,chiuso o nè aperto nè chiuso e ho provato a farlo al variare di queste caratteristiche di E perchè volevo capire se almeno in uno di questi casi la misurabilità non fosse valida...è giusto il ragionamento che ho fatto secondo te?
in ogni caso,devo continuare a pensare che un sottoinsieme di $R^n$ che sia nè aperto nè chiuso è misurabile (magari secondo altre e corrette dimostrazioni),vero?
david non ho capito quello che intendi...me lo spiegheresti in modo più semplice?
ubermensch,non capisco il mio errore:ho considerato un intervallo di R nè aperto nè chiuso e ho applicato ad esso la definizione di misurabilità in cui interviene un generico sottoinsieme E;essa mi sembra valida nel caso di E aperto,chiuso o nè aperto nè chiuso e ho provato a farlo al variare di queste caratteristiche di E perchè volevo capire se almeno in uno di questi casi la misurabilità non fosse valida...è giusto il ragionamento che ho fatto secondo te?
in ogni caso,devo continuare a pensare che un sottoinsieme di $R^n$ che sia nè aperto nè chiuso è misurabile (magari secondo altre e corrette dimostrazioni),vero?
"geminis":
david non ho capito quello che intendi...me lo spiegheresti in modo più semplice?
Le uniche misure in grado di misurare tutti i sottoinsiemi di $RR$ (o di $RR^n$) sono quella che assegna a tutti gli insiemi la misura nulla o quella del conteggio che assegna ad ogni insieme come misura la sua cardinalità se essa è finita, $\infty$ altrimenti. Chiaramente con nessuna delle due è possibile costruire una teoria dell'integrazione che abbia una qualche utilità pratica...
sinceramente credo che il tuo ragionamento non sia un ragionamento: cosa vuol dire "ho considerato un intervallo di R nè aperto nè chiuso e ho applicato ad esso la definizione di misurabilità in cui interviene un generico sottoinsieme E;essa mi sembra valida nel caso di E aperto,chiuso o nè aperto nè chiuso e ho provato a farlo al variare di queste caratteristiche di E perchè volevo capire se almeno in uno di questi casi la misurabilità non fosse valida"?
se metti qualche dettaglio ti posso trovare l'errore...
se metti qualche dettaglio ti posso trovare l'errore...
voglio dimostrare che il generico intervallo nè aperto nè chiuso I=[a,c[ è misurabile.
esso lo è se per ogni E appartenente ad R , la misura esterna di E è uguale alla somma di quella relativa alla sua intersezione con I e di quella relativa alla sua intersezione con il complementare di I.
se E è un intervallo generico di estremi b e d (con a
esso lo è se per ogni E appartenente ad R , la misura esterna di E è uguale alla somma di quella relativa alla sua intersezione con I e di quella relativa alla sua intersezione con il complementare di I.
se E è un intervallo generico di estremi b e d (con a
beh... è ovvio che gli intervalli $[a,b)$ siano misurabili... ma in $RR$ mica ci sono solo intervalli!
si,lo avevo pensato mentre scrivevo... grazie di tutto
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