Insiemi misurabili secondo Lebesgue
Salve a tutti,
ho cominciato lo studio della teoria degli integrali multipli. Ad un certo punto si introduce la classe degli insiemi misurabili secondo Lebesgue come:
$M_N = { E⊆ R^N : m∗ (A) = m∗ (A ∩ E) + m∗ (A ∩ E ^c ) ∀A ⊆ R^N }$
Questa formulazione mi rende anche l'idea visiva di cosa effettivamente accada per gli insiemi misurabili secondo Lebesgue.
Su un altro testo invece si dice che:
"Un insieme limitato $ E sub RR^n$ è misurabile se per ogni $epsilon > 0$ esiste un plurirettangolo P tale che:
$ m^star((E-P)uu(P-E)) < epsilon$ "
Le due definizioni dovrebbero essere equivalenti (forse la prima è più generale). Perché?
mi pare che l'ultima dica una cosa diversa dalla prima formulazione, In particolare non riesco a ricondurmi dalla seconda alla prima;
Grazie.
ho cominciato lo studio della teoria degli integrali multipli. Ad un certo punto si introduce la classe degli insiemi misurabili secondo Lebesgue come:
$M_N = { E⊆ R^N : m∗ (A) = m∗ (A ∩ E) + m∗ (A ∩ E ^c ) ∀A ⊆ R^N }$
Questa formulazione mi rende anche l'idea visiva di cosa effettivamente accada per gli insiemi misurabili secondo Lebesgue.
Su un altro testo invece si dice che:
"Un insieme limitato $ E sub RR^n$ è misurabile se per ogni $epsilon > 0$ esiste un plurirettangolo P tale che:
$ m^star((E-P)uu(P-E)) < epsilon$ "
Le due definizioni dovrebbero essere equivalenti (forse la prima è più generale). Perché?
mi pare che l'ultima dica una cosa diversa dalla prima formulazione, In particolare non riesco a ricondurmi dalla seconda alla prima;
Grazie.
Risposte
Quando seguìi analisi III l'anno scorso, la professoressa diede la seguente definizione.
"Un insieme limitato $E\subset \RR^n$ si dice misurabile se $\forall \varepsilon >0$ $\exists A$ aperto che contiene $E$ tale che $m(A-E)<\varepsilon$"
che sembra simile alla tua seconda definizione.
Poi diede anche quella che scrivi come prima definizione chiamandola "caratterizzazione di Charateodory" e dicendo che le due erano equivalenti.
"Un insieme limitato $E\subset \RR^n$ si dice misurabile se $\forall \varepsilon >0$ $\exists A$ aperto che contiene $E$ tale che $m(A-E)<\varepsilon$"
che sembra simile alla tua seconda definizione.
Poi diede anche quella che scrivi come prima definizione chiamandola "caratterizzazione di Charateodory" e dicendo che le due erano equivalenti.
Grazie per la risposta!
Alla fine ho risolto completamente. Lascio il link:
http://it.narkive.com/2008/9/9/6597054- ... abili.html
Alla fine ho risolto completamente. Lascio il link:
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