Insiemi infiniti

[Principe2]

trovare la cardinalità dell'insieme R-Q, essendo R l'insieme dei reali e Q quello dei razionali. E dimostrare il risultato.

ciao, ubermensch

[Pachito1]

La cardinalità di R-Q è la stessa di R.
Essendo i razionali numerabili possiamo pensare di impacchettarli tutti in un reale. In questo 'contenitore' infinito mettiamo in maniera opportuna uno dopo l'altro tutti gli infiniti razionali (di lunghezza finita).
Forse il ragionamento non è rigorossissimo, ma con un paio di bottarelle qua e la si può aggiustare tutto.

[Principe2]

sinceramente non ho capito bene: cosa significa impacchettarli in un reale? e cos'è di lunghezza finita?

la mia dimostrazione è la seguente. sia I = Q-R; supponiamo I numerabile, poichè R=I U Q, allora, per il primo teorema di Cantor, R è numerabile: assurdo! quindi I è isomorfo a R

[Maverick2]

il risultato è abbastanza banale se si pensa che Q è un insieme di misura nulla su R. quindi diciamo che la misura di Q è minore di quella di un intervallo proprio di R, supponiamo [0,1]. essendo R isomorfo ad un suo sottoinsieme continuo, sarà quindi isomorfo a R-[0,1] che è "più piccolo" di R-Q il quale sarà dunque non numerabile.
perdonate la notazione poco rigorosa ma penso che l'idea sia chiara

A mio parere però la cosa veramente sorprendente (ma questo è un giudizio personale) è che Q è denso in R! per quanto sia ampiamente dimostrato non riesco ancora a capacitarmene.

[Principe2]

Q è denso in R

ti riferisci al fatto che tra due numeri irrazionali ve ne sono infiniti razionali?

[Ramo82]

nn era il contrario? ossia tra 2 razionali ce ne sono infiniti irrazionali?

[Maverick2]

in realtà valgono entrambe le cose perchè Q è denso in R ma anche R-Q è denso in R.
mi riferisco al fatto che R è la chiusura di Q, cioè Q più la sua frontiera fa R

[Principe2]

già.. valgono entrambe

[Ramo82]