Insiemi aperti e chiusi
Non mi è chiaro come poter determinare se un insieme è aperto, chiuso o limitato. Ad esemio, dato l'insieme $A={x∈RR|log_pi((4^x-2^(x+2)+1)/(9^x-4*3^x+1)+1)>0}$. Ora risolvendo la disequazione se i calcoli sono giusti: $(-\infty,log_3 4-1/2) U (2-log_2 sqrt3,log_3 4-1/2)U(2+log_2 sqrt3, +\infty)$. Questi sono tutti insiemi aperti e l'unione di insiemi aperti da ancora un insieme aperto. Quindi A è aperto, perchè non contiene i suoi punti di frontiera?
Risposte
Perché rispondi due volte alla stessa domanda?
Non occorre starsela a menare con i punti di frontiera. Hai già dimostrato che \(A\) è aperto, non ridimostrarlo. Adesso rispondi alle altre due domande:
[list=1][*:2inrknsp]\(A\) è chiuso? (non sta scritto da nessuna parte che un insieme aperto non possa essere anche chiuso)[/*:m:2inrknsp]
[*:2inrknsp]\(A\) è limitato?[/*:m:2inrknsp][/list:o:2inrknsp]
"Luca92":Giustissimo. \(A\) è aperto.
Questi sono tutti insiemi aperti e l'unione di insiemi aperti da ancora un insieme aperto.
Quindi A è aperto, perchè non contiene i suoi punti di frontiera?
Non occorre starsela a menare con i punti di frontiera. Hai già dimostrato che \(A\) è aperto, non ridimostrarlo. Adesso rispondi alle altre due domande:
[list=1][*:2inrknsp]\(A\) è chiuso? (non sta scritto da nessuna parte che un insieme aperto non possa essere anche chiuso)[/*:m:2inrknsp]
[*:2inrknsp]\(A\) è limitato?[/*:m:2inrknsp][/list:o:2inrknsp]
A non è chiuso perchè il suo complementare rispetto a $RR$ è chiuso, in quanto è $[log_3 4-1/2,2-log_2sqrt3]U[log_3 4+1/2,2+log_2sqrt3]$; sarebbe chiuso se il complementare fosse aperto. A è limitato perchè noi stiamo considerando solo le x che rendono il ligaritmo maggiore di zero, ma esistono in $RR$ anche x che lo rendono minore di zero, quindi è strettamente limitato inferiormente?
Tutto sbagliato.
Intanto per dimostrare che un insieme non è chiuso non puoi procedere così, in quel modo ridimostri solo che l'insieme è aperto. Devi fare vedere che esistono punti di aderenza (o di accumulazione, o di frontiera, come preferisci) dell'insieme che non appartengono all'insieme.
Poi per la limitatezza non fare chiacchiere inutili. Non ho controllato i tuoi conti, ma se l'insieme è veramente questo qui:
$(-\infty,log_3 4-1/2) \cup (2-log_2 sqrt3,log_3 4-1/2)\cup(2+log_2 sqrt3, +\infty)$
allora è solo su questo che devi ragionare, e non sulle altre cose che dici. Questo insieme a me non pare proprio essere limitato, né inferiormente né superiormente. Perché?
Intanto per dimostrare che un insieme non è chiuso non puoi procedere così, in quel modo ridimostri solo che l'insieme è aperto. Devi fare vedere che esistono punti di aderenza (o di accumulazione, o di frontiera, come preferisci) dell'insieme che non appartengono all'insieme.
Poi per la limitatezza non fare chiacchiere inutili. Non ho controllato i tuoi conti, ma se l'insieme è veramente questo qui:
$(-\infty,log_3 4-1/2) \cup (2-log_2 sqrt3,log_3 4-1/2)\cup(2+log_2 sqrt3, +\infty)$
allora è solo su questo che devi ragionare, e non sulle altre cose che dici. Questo insieme a me non pare proprio essere limitato, né inferiormente né superiormente. Perché?
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