Insiemi

[andreas1941]

Studiare i punti interni, esterni e di frontiera dell'insieme R \ Q

Qualcuno sa la soluzione e mi potrebbe un po' spiegare l'argomento..? grazie mille

[ciampax]

Conosci le definizioni di tali tipologie di punti? E' una semplice applicazione.

[andreas1941]

Sisi so cosa sono i suddetti punti.. ma in pratica come dovrei svolgerlo? grazie

[ciampax]

Prendi un punto di $RR\setminus QQ$: qual è la condizione affinché sia interno (usando la definizione)? Dovrebbe risultare lampante qualcosa. Stesso dicasi per i punti di frontiera. E per quelli esterni.

[andreas1941]

Tipo prendo 1 esso sarà interno perchè è circondato da elementi dell'intervallo .. mentre per gli altri due problemi non ho capito bene..

Se riesci a farmi un esempio cortesemente.. grazie

[ciampax]

Per prima cosa, $1$ non sta in quell'insieme, visto che $1\in QQ$. Devi considerare un elemento generico. Supponiamo che $x_0\in \stackrel{\circ}{RR\setminus QQ}$: per definizione allora

esiste $r>0$ tale che $I(x_0,r)\subset RR\setminus QQ$

Ora chiediti: questa cosa può accadere? Per quanto tu prenda piccolo il valore di $r$ è possibile che l'intorno non contenga numeri razionali? Pensa ad esempio se $x_0=\sqrt{2}$: cosa accade? C'è un qualche risultato (noto) di analisi che lega questo numero ad eventuali numeri razionali?

[andreas1941]

In questo caso non ci sono nè punti interni nè punti esterni.. sono tutti punti di frontiera. Invece se l'insieme è Z/Q?

[gio73]

scusate se mi intrometto, non conosco l'argomento e vorrei cimentarmi: quindi suazo quello che dico potrebbe non essere pertinente.
Fatta questa doverosa premessa: ma ogni intero non è anche razionale? $ZZsubQQ$ e quindi $ZZ-QQ=$vuoto

[ciampax]

Sì, infatti, anche io come gio73 non capisco il senso della domanda...

[andreas1941]

Infatti ho sbagliato trascrivendo.. insieme Q/Z.. grazie per la correzione

[ciampax]

Bé, qui le cose sono diverse: prova a fare un ragionamento, per quanto riguarda i punti interni, su $x_0=1/2$ e vedi cosa accade. Da lì concludere diventa abbastanza semplice.

[andreas1941]

non riesco ad arrivarci..

[ciampax]

Se consideri $r<1/2$ ci sono numeri interi nell'intorno $I(1/2,r)$? E ci sono numeri razionali?

[andreas1941]

no non ci sono numeri interi.. mentre ci sono numeri razionali

[ciampax]

Ecco, quindi $1/2$ è interno, esterno o di frontiera?

[andreas1941]

esterno?

[gio73]

secondo me interno.
Mi immagino questo insieme fatto da tante "isole", separate solo da un numero intero: un'isola tra 0 e 1, un'altra isola tra 1 e 2... e così via.

[ciampax]

E gio73 vince!

[andreas1941]

Quindi non ci sono nè punti esterni nè punti di frontiera?

[ciampax]

E chi lo ha detto? Abbiamo detto solo che se prendi un generico numero razionale che non sia intero, questo è interno. Il ragionamento generale è questo: se $q\in [n,n+1]$ (ragiono solo sui positivi, per i negativi vale lo stesso) allora basta prendere

$r<\min(q-n,n+1-q)$

In modo che $I(q,r)\subset QQ$ e esso non contenga nessun punto di $ZZ$. Ora la domanda è: i punti di $ZZ$ come sono rispetto a questo insieme?

[andreas1941]

Saranno esterni?