Insiemi

[andreas1941]

Studiare i punti interni, esterni e di frontiera dell'insieme R \ Q

Qualcuno sa la soluzione e mi potrebbe un po' spiegare l'argomento..? grazie mille

[ciampax]

Scrivi le definizioni di punto esterno e di punto di frontiera, per piacere.

[andreas1941]

è un punto di frontiera di C se ogni intorno intorno completo di x 0 contiene almeno un punto di C e un punto di C ^ c

però nel mio quaderno degli appunti non ho trovato definizioni concise di punti di frontiera e punti esterni

[ciampax]

Un punto $x_0$ è di frontiera per un insieme $A$ se per ogni $r>0$ si ha

$(I(x_0,r)\cap A)\setminus\{x_0\}\ne \emptyset,\qquad (I(x_0,r)\cap A^c)\setminus\{x_0\}\ne \emptyset$

Cosa ne concludi?

[andreas1941]

i punti di Z come sono rispetto a questo insieme sono punti di frontiera

[ciampax]

Cosa stai considerando come $A^c$?

[andreas1941]

sarebbe il suo complementare..

[simfanc]

"ciampax":E chi lo ha detto? Abbiamo detto solo che se prendi un generico numero razionale che non sia intero, questo è interno. Il ragionamento generale è questo: se $q\in [n,n+1]$ (ragiono solo sui positivi, per i negativi vale lo stesso) allora basta prendere

$r<\min(q-n,n+1-q)$

In modo che $I(q,r)\subset QQ$ e esso non contenga nessun punto di $ZZ$. Ora la domanda è: i punti di $ZZ$ come sono rispetto a questo insieme?

Mi scuso se riporto in vita un topic alquanto datato, gradirei però confrontarmi con voi sulla corretta interpretazione del quesito a cui ha risposto ciampax.

In sostanza si chiede di trovare i punti interni, esterni e di frontiera dell'insieme Q \ Z.

Le nozioni di punto interno, punto esterno e punto di frontiera possono essere date per un qualsiasi spazio metrico $X$, essendo possibile introdurre, per ogni $x_o in X$ e per ogni $r in R$ la nozione di "bolla di centro $x_o$ e raggio r:

$B(x_o,r)={x in X:dist(x,x_o)
Nell'esercizio in questione quale è lo spazio metrico considerato? $R$ o $Q$?

La risposta che ha fornito ciampax è corretta se si considera come spazio metrico $Q$.
Se però si considera come spazio metrico $R$, ogni bolla del tipo $B(x_o,r)$ con $x_0$ Q \ Z e $r in R$ ha fra i suoi elementi punti che non appartengono a Q\Z e quindi Q\Z non ha punti interni.

Cosa ne pensate?
Come interpretate voi la richiesta dell'esercizio? Grazie.

[simfanc]

?