Insieme non boreliano
Cari amici nerd 
,
In questa prima settimana di lezioni abbiamo iniziato un corso di Probabilità fondato sulla teoria della misura astratta.
Abbiamo cominciato col il definire le algebre e le $\sigma$-algebre. In particolare abbiamo introdotto la $\sigma$-algebra di Borel \(\mathcal{B}\) sullo spazio topologico $X$ come la $\sigma$-algebra generata dagli intervalli aperti di $X$, ovvero:\[\mathcal{B}(X) := \sigma \big(\big\{A \subseteq X \ : \ A \ \ \text{aperto}\big\}\big)\]
dove \(\sigma(\cdot)\) sta per "\(\sigma\)-algebra generata da".
Ragioniamo con $X=RR$. Allora in \(\mathcal{B}(\mathbb{R})\) ci saranno tutti i sottoinsiemi aperti, tutti gli sottoinsiemi chiusi e tutte le loro unioni e intersezioni numerabili. Ragionando ingenuamente mi verrebbe da pensare che \(\mathcal{B}({\mathbb{R}}) = \mathcal{P}(\mathbb{R})\), ovvero che la $\sigma$-algebra \(\mathcal{B}(\mathbb{R})\) contenga tutti i sottoinsiemi di $RR$. A naso sento che mi sfugge qualcosa, di sicuro ci sarà qualche insieme "strano" che non sarà rappresentabile come unione o intersezione di chiusi e aperti e sarà per forza \(\mathcal{B}({\mathbb{R}}) \subset \mathcal{P}(\mathbb{R})\) dove vale l'inclusione stretta.
Mi sapreste indicare un sottoinsieme di $RR$ che non sia un boreliano?
PS Cercando viene sempre tirata in ballo la classe degli insiemi Lebesgue misurabili \(\mathcal{L}(\mathbb{R})\), e, se non sbaglio si ha \(\mathcal{B}({\mathbb{R}}) \subset \mathcal{L}({\mathbb{R}}) \subset \mathcal{P}(\mathbb{R})\), ma io per ora non so formalmente cosa sia la misura di Lebesgue.
,In questa prima settimana di lezioni abbiamo iniziato un corso di Probabilità fondato sulla teoria della misura astratta.
Abbiamo cominciato col il definire le algebre e le $\sigma$-algebre. In particolare abbiamo introdotto la $\sigma$-algebra di Borel \(\mathcal{B}\) sullo spazio topologico $X$ come la $\sigma$-algebra generata dagli intervalli aperti di $X$, ovvero:\[\mathcal{B}(X) := \sigma \big(\big\{A \subseteq X \ : \ A \ \ \text{aperto}\big\}\big)\]
dove \(\sigma(\cdot)\) sta per "\(\sigma\)-algebra generata da".
Ragioniamo con $X=RR$. Allora in \(\mathcal{B}(\mathbb{R})\) ci saranno tutti i sottoinsiemi aperti, tutti gli sottoinsiemi chiusi e tutte le loro unioni e intersezioni numerabili. Ragionando ingenuamente mi verrebbe da pensare che \(\mathcal{B}({\mathbb{R}}) = \mathcal{P}(\mathbb{R})\), ovvero che la $\sigma$-algebra \(\mathcal{B}(\mathbb{R})\) contenga tutti i sottoinsiemi di $RR$. A naso sento che mi sfugge qualcosa, di sicuro ci sarà qualche insieme "strano" che non sarà rappresentabile come unione o intersezione di chiusi e aperti e sarà per forza \(\mathcal{B}({\mathbb{R}}) \subset \mathcal{P}(\mathbb{R})\) dove vale l'inclusione stretta.
Mi sapreste indicare un sottoinsieme di $RR$ che non sia un boreliano?
PS Cercando viene sempre tirata in ballo la classe degli insiemi Lebesgue misurabili \(\mathcal{L}(\mathbb{R})\), e, se non sbaglio si ha \(\mathcal{B}({\mathbb{R}}) \subset \mathcal{L}({\mathbb{R}}) \subset \mathcal{P}(\mathbb{R})\), ma io per ora non so formalmente cosa sia la misura di Lebesgue.
Risposte
Sono questioni piuttosto complicate. La sigma algebra di Lebesgue è "costruita" unendo agli insiemi boreliani tutti gli insiemi di misura nulla secondo Lebesgue, ovvero quelli che possono essere rivestiti da successioni di intervalli aventi lunghezza totale arbitrariamente piccola. Dopodiché si mette in moto la macchina per la generazione di una sigma-algebra: si prendono tutte le unioni e intersezioni numerabili poi i complementari, e poi ci si accorge che non si è ancora ottenuta una sigma algebra e allora si prendono di nuovo tutte le unioni e intersezioni numerabili, i complementari etc... Non so molto bene come funzioni questo processo, so solo che è un casino ed è studiato più dai teorici degli insiemi che dagli altri. (Per inciso, il processo di costruzione di una topologia è molto più semplice. Non ho mai capito bene perché.)
Fatto sta che a questo punto uno se ne può uscire con l'esempio standard di insieme non misurabile secondo Lebesgue, dovuto a Vitali. Questo insieme si può anche descrivere a parole: si tratta di un insieme completo di rappresentanti per la seguente relazione di equivalenza su \(\mathbb{R}\):
\[
x\equiv y\, \mod \mathbb{Q} \iff x-y \in \mathbb{Q}.
\]
Il fatto che si possa prendere un sistema completo di rappresentanti per questa relazione è dovuto all'assioma della scelta.
Questa è tutta teoria standard, e risponde alla tua domanda perché mostra l'esistenza di un insieme non Lebesgue-misurabile e quindi certamente non boreliano. Non credo esistano costruzioni più semplici.
Fatto sta che a questo punto uno se ne può uscire con l'esempio standard di insieme non misurabile secondo Lebesgue, dovuto a Vitali. Questo insieme si può anche descrivere a parole: si tratta di un insieme completo di rappresentanti per la seguente relazione di equivalenza su \(\mathbb{R}\):
\[
x\equiv y\, \mod \mathbb{Q} \iff x-y \in \mathbb{Q}.
\]
Il fatto che si possa prendere un sistema completo di rappresentanti per questa relazione è dovuto all'assioma della scelta.
Questa è tutta teoria standard, e risponde alla tua domanda perché mostra l'esistenza di un insieme non Lebesgue-misurabile e quindi certamente non boreliano. Non credo esistano costruzioni più semplici.
Per prima cosa, come sempre, ti ringrazio. 
Sapevo che la costruzione di un insieme non misurabile secondo Lebesgue è abbastanza articolato, ma dato che \(\mathcal{B}(\mathbb{R}) \subsetneqq \mathcal{L}(\mathbb{R})\) pensavo che fosse relativamente facile trovare un insieme, Lebesgue misurabile, ma non boreliano.
Per esempio tu mi dici che per costruire la \(\sigma\)-algebra di Lebesgue si aggiungono gli insiemi di misura nulla (è quello che solitamente si indica con completamento no?) ai boreliani. Ma allora significa che tra questi insiemi di misura nulla posso trovarne che non sono boreliani. Ma evidentemente non sono di così facile rappresentazione nemmeno questi...
Su Wikipedia (link) ho trovato un esempio di insieme non boreliano ma purtroppo, come nel caso dell'insieme di Vitali da te fornito, la verifica che tale insieme non è di Borel non è per nulla semplice (o almeno io non saprei da dove iniziare!).
Aggiungo che ho trovato altre informazioni riguardo la cardinalità delle \(\sigma\)-algebre in questione sempre su Wikipedia (ho cercato su testi che trattano di teoria della misura ma nada). $RR$ ha cardinalità del continuo \(\mathfrak{c} = 2^{\aleph_0}\) e di conseguenza \(\text{card}(\mathcal{P}(\mathbf{R})) = 2^{\mathfrak{c}}\) mentre è dimostrabile che la cardinalità della \(\sigma\)-algebra di Borel è "solo" \(\mathfrak{c}\) e quindi gli insiemi di Borel sono molto pochi rispetto ai sottoinsiemi di $RR$
Se i sottoinsiemi di $RR$ che non sono boreliani sono così "tanti", dove sono?! Le amenità della matematica 
Sapevo che la costruzione di un insieme non misurabile secondo Lebesgue è abbastanza articolato, ma dato che \(\mathcal{B}(\mathbb{R}) \subsetneqq \mathcal{L}(\mathbb{R})\) pensavo che fosse relativamente facile trovare un insieme, Lebesgue misurabile, ma non boreliano.
Per esempio tu mi dici che per costruire la \(\sigma\)-algebra di Lebesgue si aggiungono gli insiemi di misura nulla (è quello che solitamente si indica con completamento no?) ai boreliani. Ma allora significa che tra questi insiemi di misura nulla posso trovarne che non sono boreliani. Ma evidentemente non sono di così facile rappresentazione nemmeno questi...
Su Wikipedia (link) ho trovato un esempio di insieme non boreliano ma purtroppo, come nel caso dell'insieme di Vitali da te fornito, la verifica che tale insieme non è di Borel non è per nulla semplice (o almeno io non saprei da dove iniziare!).
Aggiungo che ho trovato altre informazioni riguardo la cardinalità delle \(\sigma\)-algebre in questione sempre su Wikipedia (ho cercato su testi che trattano di teoria della misura ma nada). $RR$ ha cardinalità del continuo \(\mathfrak{c} = 2^{\aleph_0}\) e di conseguenza \(\text{card}(\mathcal{P}(\mathbf{R})) = 2^{\mathfrak{c}}\) mentre è dimostrabile che la cardinalità della \(\sigma\)-algebra di Borel è "solo" \(\mathfrak{c}\) e quindi gli insiemi di Borel sono molto pochi rispetto ai sottoinsiemi di $RR$
Se i sottoinsiemi di $RR$ che non sono boreliani sono così "tanti", dove sono?!
Le amenità della matematica
Manca il link. Comunque non ci perderei eccessivo tempo. Almeno a questo livello penso tu possa tranquillamente pensare che "tutti gli insiemi sono boreliani". Per la maggior parte delle applicazioni della teoria della misura questo è sufficiente (o almeno, a me sembra così).
L'unico ambito in cui mi sono trovato a dover rivedere questa convinzione errata ma utile è stato la teoria geometrica della misura. Se studi quella roba lì allora devi stare attento perché ti vengono fuori insiemi con dimensione frazionaria (frattali) e roba del genere, che facilmente è parecchio strana
L'unico ambito in cui mi sono trovato a dover rivedere questa convinzione errata ma utile è stato la teoria geometrica della misura. Se studi quella roba lì allora devi stare attento perché ti vengono fuori insiemi con dimensione frazionaria (frattali) e roba del genere, che facilmente è parecchio strana
Ho editato il link.
Sì hai ragione, non ci perderò più tempo su questa faccenda (che tra l'altro trovo abbastanza barbosa).
Quei fatti sulle cardinalità mi hanno in parte risposto e ho trovato un po' di pace interiore.
Grazie mille, alla prossima.
Sì hai ragione, non ci perderò più tempo su questa faccenda (che tra l'altro trovo abbastanza barbosa).
Quei fatti sulle cardinalità mi hanno in parte risposto e ho trovato un po' di pace interiore.
Grazie mille, alla prossima.
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