Insieme limitato o illimitato?
Ciao a tutti oggi ho fatto un test all'università e avevo dei seri dubbi anche con i colleghi riguardo a quest'esercizio: sono dati
$a,b in RR$, con $a+1
minimo, se $Sup{E} = +infty$ e se coincida con l'insieme vuoto.
Ovviamente abbiamo quasi tutti risposto che l'insieme è non vuoto e per il principio di buon ordinamento abbiamo supposto che l'insieme ammettesse minimo intero. Le maggiori controversie sono però nate per l'estremo superiore: alcuni dicono che è un insieme limitato superiormente da b ma io ho pensato che siccome b tende all'infinito l'insieme potesse essere illimitato e che quindi fosse vero che supE = infinito. Cosa ne pensate?
$a,b in RR$, con $a+1
minimo, se $Sup{E} = +infty$ e se coincida con l'insieme vuoto.
Ovviamente abbiamo quasi tutti risposto che l'insieme è non vuoto e per il principio di buon ordinamento abbiamo supposto che l'insieme ammettesse minimo intero. Le maggiori controversie sono però nate per l'estremo superiore: alcuni dicono che è un insieme limitato superiormente da b ma io ho pensato che siccome b tende all'infinito l'insieme potesse essere illimitato e che quindi fosse vero che supE = infinito. Cosa ne pensate?
Risposte
Ciao!
Forse avete dato da poco,a lezione,formalità al fatto abbastanza evidente che ogni numero reale è compreso tra la sua parte intera ed il successivo di quest'ultima
(primo estremo incluso e secondo no..)?
Magari sta quì la risposta a tutte le vostre domande
(per un paio mi sembra che ci siate!):
saluti dal web.
Forse avete dato da poco,a lezione,formalità al fatto abbastanza evidente che ogni numero reale è compreso tra la sua parte intera ed il successivo di quest'ultima
(primo estremo incluso e secondo no..)?
Magari sta quì la risposta a tutte le vostre domande
(per un paio mi sembra che ci siate!):
saluti dal web.
ehm....di fatto hai ragione, non abbiamo dato molto spessore a questa proprietà, ma da quello che dici pur ragionandoci incappo nuovamente nel dilemma precedente: essendo che come tu affermi il secondo estremo non è incluso, è da considerarsi come una possibile tensione verso l'infinito oppure come una convergenza verso quell'estremo? Non riesco a capire. Grazie comunque di aver risposto.
Inizia con l'osservare che $E$ può essere vuoto.
Forse convergenza non è il termine migliore:
magari sarebbe meglio dire che max{+1,1} sarà maggiorante del tuo insieme,se non vuoto,$AAa,binRR$..
Brutte notizie,mi pare,se ho inquadrato bene il problema:
mal che vada,comunque,son di quelli errori che servono a migliorarsi..
Saluti dal web.
magari sarebbe meglio dire che max{+1,1} sarà maggiorante del tuo insieme,se non vuoto,$AAa,binRR$..
Brutte notizie,mi pare,se ho inquadrato bene il problema:
mal che vada,comunque,son di quelli errori che servono a migliorarsi..
Saluti dal web.
Se, come mi sembra, $a , b in RR$ sono fissati, allora l'insieme è limitato: $a$ è un minorante e $b$ un maggiorante dell'insieme. Quindi il superiore - che esiste per un teorema ben noto - esiste ed appartiene ad $RR$.
EDIT: Se l'insieme $E$ è non vuoto, giustamente.
EDIT: Se l'insieme $E$ è non vuoto, giustamente.
"DajeForte":
Inizia con l'osservare che $E$ può essere vuoto.
no $E$ non può essere vuoto, questo per lo meno è sicuro, essendo che per ipotesi $b>a+1$ esisterà sempre e comunque almeno un intero positivo tra a e b facendo quindi parte dell'insieme $E = (a,b) nn NN$ perché per l'appunto $|b-a|>1$
"chronos":
[quote="DajeForte"]Inizia con l'osservare che $E$ può essere vuoto.
no $E$ non può essere vuoto, questo per lo meno è sicuro, essendo che per ipotesi $b>a+1$ esisterà sempre e comunque almeno un intero positivo tra a e b facendo quindi parte dell'insieme $E = (a,b) nn NN$ perché per l'appunto $|b-a|>1$[/quote]
Se $a, b < 0$ ?
Te lo scrive anche Seneca; fermati e ragiona un attimo.
$NN={0,1,2,...}$
$a,b in RR$
dunque...
$NN={0,1,2,...}$
$a,b in RR$
dunque...
hai ragione non l'avevo considerato. Scusate.
Perfetto, dunque se $b<=0$ (anche l'uguale va bene), $E$ è vuoto.
Se $b>0$...
Se $b>0$...
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