Insieme disconnesso

[Webster]

Scusate la domanda molto probabilmente stupida. Da definizione, un insieme è disconnesso se è esprimibile come unione di insiemi aperti disgiunti non vuoti. Ma se consideriamo un insieme dato dall'unione di due insiemi chiusi disgiunti non vuoti, ad esempio $A=[0,1] \cup [2,3]$, mi verrebbe da dire che anche questo insieme è disconnesso. Come si spiega ciò?

[marco.bre]

le due proprietà sono equivalenti, o meglio

puoi definire uno spazio topologico sconnesso come uno spazio che ammette un sottoinsieme diverso dall'insieme vuoto e da tutto lo spazio che è sia aperto che chiuso; in tal caso uno spazio topologico è sconnesso se e solo se è unione di due sottoinsiemi aperti non vuoti disgiunti se e solo se è unione di due sottoinsiemi chiusi non vuoti disgiunti.

[Plepp]

Uno spazio topologico $X$ è disconnesso se non è connesso: è connesso quando le uniche parti contemporaneamente chiuse e aperte sono $X$ stesso e $\emptyset$, o equivalentemente se $X$ non è esprimibile come unione di due aperti (o di due chiusi, è lo stesso[nota]Se $U,V\subseteq X$ sono i due aperti non vuoti e disgiunti tali che $X=U\cup V$, allora $X"\"U=V$ e $X"\"V=U$, per cui, avendo i complementari aperti, $U$ e $V$ sono pure chiusi.[/nota]) non vuoti e disgiunti.