Insieme di livello di f di quota 0
$f(x,y)=e^{x+y}(x+y)$
[*:1aptg28k]Determinare l'insieme di livello di $f$ di quota $0$ e disegnarlo[/*:m:1aptg28k][/list:u:1aptg28k]
sarebbe $A = \{(x,y)\in\mathbb{R^2}:x+y=0\}$ ?? (visto che l'esponenziale non è mai nullo)
Cioè la bisettrice passante per il $II$ e $IV$ quadrante? ($y=-x$)
È cosi semplice?
Grazie!
Risposte
Ciao JakedTux,
Direi proprio di sì...
"JackedTux":
È cosi semplice?
Direi proprio di sì...
"pilloeffe":
Ciao JakedTux,
[quote="JackedTux"]È cosi semplice?
Direi proprio di sì...
[/quote]Che bello
Non so se sia il caso di aprire un altro thread, ma...
Riguardo invece a questo esecizio:
[*:2ckfouw4] Dire se l'insieme $D=\{(x,y)\in\mathbb{R^2}:x^2+y^2\leq4\}$ è aperto o chiuso, limitato e connesso, e determinarne l'interno e la frontiera.[/*:m:2ckfouw4][/list:u:2ckfouw4]
Si tratta della circonferenza di centro $(0,0)$ e di raggio $=2$ inclusi i suoi punti interni, giusto?
Quindi è chiuso per via del $\leq$ (c'è anche $=$)?
Limitato perché lo riesco a racchiudere in una circonferenza (la medesima)?
Connesso perché presi due punti qualsiasi appartenenti all'insieme esiste sempre una curva che li congiunge che è a sua volta interamente contenuta nell'insieme?
Per determinarne l'interno è sufficiente sostituire il $\leq$ con un $<$ ?
E per la frontiera basta sostituire il $\leq$ con un $=$?
Dipende da cosa si intende per "insieme di livello", però. Potrebbe essere l'insieme \(\{(x, y)\in\mathbb R^2\ :\ f(x, y)\ge 0\}\). Se non specifichi la definizione che ti è stata data non c'è modo per noi di saperlo.
Ciao dissonance,
Beh, formalmente è vero, ma da quanto
si può intuire quale sia la definizione che gli è stata data.
Poi se l'intuizione non è stata corretta, immagino che l'OP ce lo farà sapere...
"dissonance":
Se non specifichi la definizione che ti è stata data non c'è modo per noi di saperlo.
Beh, formalmente è vero, ma da quanto
"JackedTux":
sarebbe $A={(x,y)\in \RR^2 : x+y=0}$ ?? (visto che l'esponenziale non è mai nullo)[...]
si può intuire quale sia la definizione che gli è stata data.
Poi se l'intuizione non è stata corretta, immagino che l'OP ce lo farà sapere...
Suppongo sia giusto così, riporto una parte delle dispense:
"Si definisce insieme di livello di $f$ di quota $c\in\mathbb{R}$, l'insieme:
$Lev_c(f)=\{(x,y)\inA:f(x,y)=c\}=f^{-1}(\{c\})\subseteq\mathbb{R^2}$"
L'esercizio poi mi chiede:
data $f(x,y)=e^{2x^2+2y^2-4y+2}$
e dato $D=\{(x,y)\in\mathbb{R^2}:x^2+y^2\leq4\}$
Determinare, se esistono, i punti di massimo e minimo relativo di $f$ sull'interno di $D$
Mi sembra di aver capito che si fa con il teorema dei moltiplicatori di Lagrange,
e se non sbaglio, in sostanza bisogna risolvere il sistema delle seguenti equazioni:
[list=1]
[*:olxmpmza]$\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) * \frac{\partial g}{\partial y}(x,y) = \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) * \frac{\partial g}{\partial x}(x,y)$[/*:m:olxmpmza]
[*:olxmpmza]$g(x,y)=0$[/*:m:olxmpmza][/list:o:olxmpmza]
Non mi è chiaro se serve o meno anche la condizione
[list=a]
[*:olxmpmza]$\nabla g(x,y)\ne 0$[/*:m:olxmpmza][/list:o:olxmpmza]
ma penso di si vista la prima condizione (1.)
comunque, dalla (2.) $x^2+y^2<4 \implies \|x+y\|<2$
dalla (1.) $e^{2x^2+2y^2-4y+2} * 4x * 2y = e^{2x^2+2y^2-4y+2} * (4y-4) * 2x\implies 8xy=8xy-8x \implies x = 0$
ma se deve valere anche la (a.) cioè $(2x,2y)\ne(0,0)\implies x\ne0 \vee y\ne0$
allora mettendo tutto insieme i punti candidati sarebbero $P=(0,\|y\|<2\wedge y\ne0)$ ??
Cioè il punto di massimo relativo di $f$ sull'interno di $D$ sarebbe $P_1=(0,-1.\overline9)$
mentre il minimo relativo sarebbe $P_2=(0,1)$ ??
"Si definisce insieme di livello di $f$ di quota $c\in\mathbb{R}$, l'insieme:
$Lev_c(f)=\{(x,y)\inA:f(x,y)=c\}=f^{-1}(\{c\})\subseteq\mathbb{R^2}$"
L'esercizio poi mi chiede:
data $f(x,y)=e^{2x^2+2y^2-4y+2}$
e dato $D=\{(x,y)\in\mathbb{R^2}:x^2+y^2\leq4\}$
Determinare, se esistono, i punti di massimo e minimo relativo di $f$ sull'interno di $D$
Mi sembra di aver capito che si fa con il teorema dei moltiplicatori di Lagrange,
e se non sbaglio, in sostanza bisogna risolvere il sistema delle seguenti equazioni:
[list=1]
[*:olxmpmza]$\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) * \frac{\partial g}{\partial y}(x,y) = \frac{\partial f}{\partial y}(x,y) * \frac{\partial g}{\partial x}(x,y)$[/*:m:olxmpmza]
[*:olxmpmza]$g(x,y)=0$[/*:m:olxmpmza][/list:o:olxmpmza]
Non mi è chiaro se serve o meno anche la condizione
[list=a]
[*:olxmpmza]$\nabla g(x,y)\ne 0$[/*:m:olxmpmza][/list:o:olxmpmza]
ma penso di si vista la prima condizione (1.)
comunque, dalla (2.) $x^2+y^2<4 \implies \|x+y\|<2$
dalla (1.) $e^{2x^2+2y^2-4y+2} * 4x * 2y = e^{2x^2+2y^2-4y+2} * (4y-4) * 2x\implies 8xy=8xy-8x \implies x = 0$
ma se deve valere anche la (a.) cioè $(2x,2y)\ne(0,0)\implies x\ne0 \vee y\ne0$
allora mettendo tutto insieme i punti candidati sarebbero $P=(0,\|y\|<2\wedge y\ne0)$ ??
Cioè il punto di massimo relativo di $f$ sull'interno di $D$ sarebbe $P_1=(0,-1.\overline9)$
mentre il minimo relativo sarebbe $P_2=(0,1)$ ??
Direi di no...
La funzione $z = f(x, y) = e^{2x^2+2y^2-4y+2} = e^{2 [x^2 + (y - 1)^2]} $ di assegnato dominio $D = {(x,y) \in \RR^2 : x^2+y^2\le 4} $ è sempre positiva ed ha un minimo che vale $z_L = 1$ nel punto $L(0, 1) $. Gli altri eventuali punti (ma sono richiesti solo quelli interni a $D$) si possono trovare solo sulla frontiera $x^2 + y^2 = 4 $, ove $f(x,y) $ diventa una funzione della sola variabile $y$, per cui non c'è proprio bisogno del metodo dei moltiplicatori di Lagrange, infatti per i punti sulla frontiera si ha:
$ f(x, y) = e^{2(x^2+y^2)-4y+2} = e^{8-4y+2} = e^{10 - 4y} = h(y) $
La funzione $z = f(x, y) = e^{2x^2+2y^2-4y+2} = e^{2 [x^2 + (y - 1)^2]} $ di assegnato dominio $D = {(x,y) \in \RR^2 : x^2+y^2\le 4} $ è sempre positiva ed ha un minimo che vale $z_L = 1$ nel punto $L(0, 1) $. Gli altri eventuali punti (ma sono richiesti solo quelli interni a $D$) si possono trovare solo sulla frontiera $x^2 + y^2 = 4 $, ove $f(x,y) $ diventa una funzione della sola variabile $y$, per cui non c'è proprio bisogno del metodo dei moltiplicatori di Lagrange, infatti per i punti sulla frontiera si ha:
$ f(x, y) = e^{2(x^2+y^2)-4y+2} = e^{8-4y+2} = e^{10 - 4y} = h(y) $
Insomma sull'interno esiste un minimo in $(0,1)$,e lo avevo trovato pure io 
, invece non esiste il massimo?
Non mi è tanto chiaro perché $(0, -1,\overline{9})$ non vada bene come massimo sull'interno, ma ci credo..
E per quanto riguarda la frontiera invece esiste un massimo in $(0,-2)$, e il minimo? in $(0,2)$?
Capisco che in questo caso non sia necessario scomodare il metodo dei moltiplicatori di Lagrange,
però potrebbe dirmi se l'ho applicato correttamente? Perché poi in altri esercizi analoghi va usato quel metodo,
o almeno così han fatto nelle poche, se non unica soluzione pubblicata di decine di esami con questo tipo di esercizio.
Grazie Professor F.P. !
, invece non esiste il massimo? Non mi è tanto chiaro perché $(0, -1,\overline{9})$ non vada bene come massimo sull'interno, ma ci credo..
E per quanto riguarda la frontiera invece esiste un massimo in $(0,-2)$, e il minimo? in $(0,2)$?
Capisco che in questo caso non sia necessario scomodare il metodo dei moltiplicatori di Lagrange,
però potrebbe dirmi se l'ho applicato correttamente? Perché poi in altri esercizi analoghi va usato quel metodo,
o almeno così han fatto nelle poche, se non unica soluzione pubblicata di decine di esami con questo tipo di esercizio.
Grazie Professor F.P. !
"JackedTux":
"Si definisce insieme di livello di $f$ di quota $c\in\mathbb{R}$, l'insieme:
$Lev_c(f)=\{(x,y)\inA:f(x,y)=c\}=f^{-1}(\{c\})\subseteq\mathbb{R^2}$"
Ooh bravo, questo volevo sapere. Non ti scordare le definizioni la prossima volta.
"dissonance":
[quote="JackedTux"]
"Si definisce insieme di livello di $f$ di quota $c\in\mathbb{R}$, l'insieme:
$Lev_c(f)=\{(x,y)\inA:f(x,y)=c\}=f^{-1}(\{c\})\subseteq\mathbb{R^2}$"
Ooh bravo, questo volevo sapere. Non ti scordare le definizioni la prossima volta.[/quote]
Ook
Ho scritto grazie Professor F.P. ma grazie a tutti comunque.
E se qualcuno sa rispondermi oltre a pilloeffe, è il benvenuto!
"JackedTux":
Capisco che in questo caso non sia necessario scomodare il metodo dei moltiplicatori di Lagrange, però potrebbe dirmi se l'ho applicato correttamente?
Direi di no. Il vincolo è $g(x, y) = x^2 + y^2 - 4 = 0 $ e quindi la lagrangiana è la seguente:
$L(x, y, \lambda) = f(x, y) + \lambda g(x, y) = e^{2x^2+2y^2-4y+2} + \lambda(x^2 + y^2 - 4) $
Poi dovresti risolvere il sistema seguente:
${((\del L)/(\del x) = 0), ((\del L)/(\del y) = 0),((\del L)/(\del \lambda) = 0):} $
cioè
${(4 x e^{2(x^2+y^2)-4y+2} + 2 \lambda x = 0), ((4y - 4)e^{2(x^2+y^2)-4y+2} + 2\lambda y = 0),(x^2 + y^2 = 4):} $
Troppo casino per nulla.
La funzione da studiare è composta da $t |-> e^{2t}$ (componente esterna) e $(x,y) |-> x^2 + (y - 1)^2$ (componente interna).
Dato che la componente esterna è strettamente crescente, la funzione assume massimo/minimo lì dove lo fa la componente interna.
Perciò basta studiare il problema di estremo per $g(x,y) := x^2 + (y - 1)^2$ in $D$.
Per evidenti motivi geometrici, la $g$ (che misura il quadrato della distanza di $(x,y)$ da $(0,1)$) prende minimo in $(0,1)$ e massimo in $(0,-2)$.
Quindi tali punti sono anche di estremo per $f$, $min f = e^(2g(0,1)) = 1$ e $max f = e^(2g(0,-2))=e^(18)$.
Quanto vale $1.bar(9)$?
La funzione da studiare è composta da $t |-> e^{2t}$ (componente esterna) e $(x,y) |-> x^2 + (y - 1)^2$ (componente interna).
Dato che la componente esterna è strettamente crescente, la funzione assume massimo/minimo lì dove lo fa la componente interna.
Perciò basta studiare il problema di estremo per $g(x,y) := x^2 + (y - 1)^2$ in $D$.
Per evidenti motivi geometrici, la $g$ (che misura il quadrato della distanza di $(x,y)$ da $(0,1)$) prende minimo in $(0,1)$ e massimo in $(0,-2)$.
Quindi tali punti sono anche di estremo per $f$, $min f = e^(2g(0,1)) = 1$ e $max f = e^(2g(0,-2))=e^(18)$.
"JackedTux":
Non mi è tanto chiaro perché $(0, -1,\overline{9})$ non vada bene come massimo sull'interno, ma ci credo...
Quanto vale $1.bar(9)$?
Scusate vi chiedo di confermare o smentire il seguente risultato,
e se qualcuno lo sa di spiegarmi come chiederlo a Matlab o a WolframAlpha:
Determinare se esistono i punti di massimo e minimo assoluto di
$f(x,y)=e^{-x^2-y^2}$ su $C=\{(x,y)\in\mathbb{R^2}:x^2+2y^2=1\}$
Punti di massimo: $(0,\pm\frac{1}{\sqrt(2)})$
Punti di minimo: $(\pm1,0)$
Grazie!
e se qualcuno lo sa di spiegarmi come chiederlo a Matlab o a WolframAlpha:
Determinare se esistono i punti di massimo e minimo assoluto di
$f(x,y)=e^{-x^2-y^2}$ su $C=\{(x,y)\in\mathbb{R^2}:x^2+2y^2=1\}$
Punti di massimo: $(0,\pm\frac{1}{\sqrt(2)})$
Punti di minimo: $(\pm1,0)$
Grazie!
Beh, è molto simile all'altro... Sostituendo $ x^2 = 1 - 2y^2 $ all'esponente, considerando solo l'esponente si ottiene la funzione nella sola variabile $y$ seguente:
$- 1 + 2y^2 - y^2 = y^2 - 1 $
I punti dell'ellisse $x^2/1^2 + y^2/(1/\sqrt2)^2 = 1 $ con la $y $ maggiore e minore possibile sono $y = \pm 1/\sqrt2 \implies x = 0 $ da cui i due punti di massimo che hai già ottenuto e $y = 0 \implies x = \pm 1 $ da cui i due punti di minimo che hai già ottenuto.
$- 1 + 2y^2 - y^2 = y^2 - 1 $
I punti dell'ellisse $x^2/1^2 + y^2/(1/\sqrt2)^2 = 1 $ con la $y $ maggiore e minore possibile sono $y = \pm 1/\sqrt2 \implies x = 0 $ da cui i due punti di massimo che hai già ottenuto e $y = 0 \implies x = \pm 1 $ da cui i due punti di minimo che hai già ottenuto.
Ciao
A me piacciono le funzioni in 2 variabili perché me le immagino come un paesaggio
La nostra per esempio me la immagino come una dolcissima collina, con il suo picco nell origine (quota massima 1) e poi dei fianchi sempre meno ripidi man mano che ci allontaniamo dall intersezione degli assi, senza mai arrivare a quota zero.
Le curve di livello sono circonferenze con centro (0; 0) e raggio=$sqrt(x^2+y^2)$.
Ti torna?
Se ti chiedessi di trovare massimi e minimi lungo il perimetro del quadrato di vertici A(1; 1), B (-1; +1) C(-1;-1) D(1;-1) cosa mi risponderesti?
A me piacciono le funzioni in 2 variabili perché me le immagino come un paesaggio
La nostra per esempio me la immagino come una dolcissima collina, con il suo picco nell origine (quota massima 1) e poi dei fianchi sempre meno ripidi man mano che ci allontaniamo dall intersezione degli assi, senza mai arrivare a quota zero.
Le curve di livello sono circonferenze con centro (0; 0) e raggio=$sqrt(x^2+y^2)$.
Ti torna?
Se ti chiedessi di trovare massimi e minimi lungo il perimetro del quadrato di vertici A(1; 1), B (-1; +1) C(-1;-1) D(1;-1) cosa mi risponderesti?
Ciao gio73,
No, non mi torna: $x^2 + 2y^2 = 1 $ non è una circonferenza, ma un'ellisse...
"gio73":
Ti torna?
No, non mi torna: $x^2 + 2y^2 = 1 $ non è una circonferenza, ma un'ellisse...
"JackedTux":
$f(x,y)=e^{-x^2-y^2}$
Questa è la funzione, l ellissi è il vincolo, mi sbaglio?
"gio73":
mi sbaglio?
No, scusami, pensavo ti riferissi proprio al vincolo...
"gio73":
La nostra per esempio me la immagino come una dolcissima collina, con il suo picco nell origine (quota massima 1) e poi dei fianchi sempre meno ripidi man mano che ci allontaniamo dall intersezione degli assi, senza mai arrivare a quota zero.
Le curve di livello sono circonferenze con centro (0; 0) e raggio=$sqrt(x^2+y^2)$.
come chiederlo a Matlab o a WolframAlpha:
Quello di sopra devi chiedere a Matlab o a WolframAlpha. Disegna il grafico e vedi a occhio dove stanno max e min. Così sei sicuro di non sbagliare.
Matlab non credo, ma WolframAlpha sicuramente avrà qualche comando per ottimizzare. Io però non mi fiderei di quella roba lì. Facilmente può prendere cantonate, perdere qualche soluzione, etc...
"JackedTux":
se qualcuno lo sa di spiegarmi come chiederlo a Matlab o a WolframAlpha:
Per WolframAlpha non è difficile:
https://www.wolframalpha.com/input?i=extrema+e%5E%28-+x%5E2+-+y%5E2%29%2C+x%5E2%2B2y%5E2%3D1
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