Insieme di derivabilità di una funzione definita a tratti
Sia $G(x)={(x^3, if x<0),(\int_0^x tsqrt(1+sqrt(t))dt, if 0<=x<=1),(x^3-6x, if x>1):}$
Devo determinare l'insieme di derivabilità e gli eventuali punti di flesso.
Il mio problema sta nella presenza della funzione integrale... Non ho mai svolto esercizi di questo tipo e non so come comportarmi. Mi potreste aiutare in modo da poter capire questi tipi di esercizi?
Devo determinare l'insieme di derivabilità e gli eventuali punti di flesso.
Il mio problema sta nella presenza della funzione integrale... Non ho mai svolto esercizi di questo tipo e non so come comportarmi. Mi potreste aiutare in modo da poter capire questi tipi di esercizi?
Risposte
ciao Alexdr
Anzitutto la continuità
per valutarla in $0$ è molto semplice... $int_0^0 f(t) dt = 0$ e $lim_(x->0^-) x^3 =0$ quindi la funzione in $0$ è continua
più difficile in $1$ perchè $lim_(x->1^+) x^3-6x =-5$ e ora devi svolgere $int_0^1 f(t) dt $ per valutarla... sempre che tu voglia valutarla... carino l'integrale
quindi per la continuità nella funzione integrale sostituisci banalmente la $x$ col valore desiderato
La derivata è molto più semplice. Essendo la funzione integrale calcolata tra $0$ e $x$ la sua derivata è banalmente la funzione integranda... attento che NON sarebbe così se gli estremi di integrazione fossero differenti, riferisciti per questo alla "derivata di funzione integrale" che trovi un po' dappertutto in rete
$G'(x)= 3x^2$
$G'(x)=xsqrt(1+sqrtx)$
$G'(x)=3x^2-6$
e qui valutare la derivabilità e molto semplice per fortuna... in $0$ è derivabile ma in $1$ no
La derivata seconda falla tu e ragionaci sopra
Anzitutto la continuità
per valutarla in $0$ è molto semplice... $int_0^0 f(t) dt = 0$ e $lim_(x->0^-) x^3 =0$ quindi la funzione in $0$ è continua
più difficile in $1$ perchè $lim_(x->1^+) x^3-6x =-5$ e ora devi svolgere $int_0^1 f(t) dt $ per valutarla... sempre che tu voglia valutarla... carino l'integrale
quindi per la continuità nella funzione integrale sostituisci banalmente la $x$ col valore desiderato
La derivata è molto più semplice. Essendo la funzione integrale calcolata tra $0$ e $x$ la sua derivata è banalmente la funzione integranda... attento che NON sarebbe così se gli estremi di integrazione fossero differenti, riferisciti per questo alla "derivata di funzione integrale" che trovi un po' dappertutto in rete
$G'(x)= 3x^2$
$G'(x)=xsqrt(1+sqrtx)$
$G'(x)=3x^2-6$
e qui valutare la derivabilità e molto semplice per fortuna... in $0$ è derivabile ma in $1$ no
La derivata seconda falla tu e ragionaci sopra
sempre che tu voglia valutarla... carino l'integrale
Mica tanto... Ho provato a calcolarlo ma poi mi sono arreso.
Grazie mille, ho capito come trattare questi tipi di esercizi.
Comunque per dovere di cronaca $x=0$ punto di flesso.
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