Insieme di derivabilità
Salve ragazzi. Sono nuovo qui sul forum ma vi leggo spesso e quindi inizio per farvi i complimenti!Siete grandi 
Passo ora al quesito che ho da proporre. Data una funzione f(x) come si determina il suo insieme di derivabilità?
Mi fate qualche esempio per favore?Per l'insieme di definizione non ci sono problemi, ma quello di derivabilità proprio non capisco. Ovviamente non è l'insieme di definizione della derivata, ho letto un pò di esempi...
Grazie
Passo ora al quesito che ho da proporre. Data una funzione f(x) come si determina il suo insieme di derivabilità?
Mi fate qualche esempio per favore?Per l'insieme di definizione non ci sono problemi, ma quello di derivabilità proprio non capisco. Ovviamente non è l'insieme di definizione della derivata, ho letto un pò di esempi...
Grazie
Risposte
Esempio:
$tgh(sqrt(x))+sqrt(sinh(x))$
Qual è l'insieme di derivabilità?
Io penso che l'insieme di derivabilità sia l'insieme in cui la funzione è derivabile quindi l'insieme dove la funzione è continua esclusi i punti dove la funzione non è derivabile, perchè esistono funzioni continue in un punto ma non derivabili nel punto medesimo.
Quindi sapendo che la funzione sopra ha per dominio l'insieme $[0,+oo)$ l'insieme di derivabilità non può essere più ampio del dominio giusto?Bisogna vedere in quell'insieme dove è derivabile la funzione?Ho una grande confusione ragazzi. Scusate se ho scritto cavolate....
$tgh(sqrt(x))+sqrt(sinh(x))$
Qual è l'insieme di derivabilità?
Io penso che l'insieme di derivabilità sia l'insieme in cui la funzione è derivabile quindi l'insieme dove la funzione è continua esclusi i punti dove la funzione non è derivabile, perchè esistono funzioni continue in un punto ma non derivabili nel punto medesimo.
Quindi sapendo che la funzione sopra ha per dominio l'insieme $[0,+oo)$ l'insieme di derivabilità non può essere più ampio del dominio giusto?Bisogna vedere in quell'insieme dove è derivabile la funzione?Ho una grande confusione ragazzi. Scusate se ho scritto cavolate....
ciao e benvenut* nel forum.
comincio a darti alcune dritte, in attesa che arrivi qualcuno più rigoroso di me.
La continuità è una condizione necessaria ma non sufficiente per la derivabilità (come hai già osservato).
la derivata di una funzione in un punto è definita come il limite del rapporto incrementale, con l'incremento che tende a zero, se esiste ed è finito. Inoltre, se pensiamo al significato geometrico della derivata come coefficiente angolare della retta tangente nel punto, che deve essere un valore finito, possiamo dire che la tangente non deve essere parallela all'asse y.
Detto questo io farei:
1) Dominio di $f(x)$
2) da questo togliamo: punti angolosi, cuspidi e flessi a tangente verticale.
3) punti in cui derivata destra e derivata sinistra non esistono.
Calcolo la derivata:
$f'(x)=(2·e^(2·sqrtx))/(sqrtx·(e^(2·sqrtx) + 1)^2)+(sqrt2·e^(- x/2)·(e^(2·x) + 1))/(4·sqrt(e^(2·x) - 1))$
quindi escludiamo x=0. ( a meno di errori)
p.s.
già che ci sei togli anche l'apostrofo: "qual è" (l'aggettivo interrogativo quale non vuole l'apostrofo)
comincio a darti alcune dritte, in attesa che arrivi qualcuno più rigoroso di me.
La continuità è una condizione necessaria ma non sufficiente per la derivabilità (come hai già osservato).
la derivata di una funzione in un punto è definita come il limite del rapporto incrementale, con l'incremento che tende a zero, se esiste ed è finito. Inoltre, se pensiamo al significato geometrico della derivata come coefficiente angolare della retta tangente nel punto, che deve essere un valore finito, possiamo dire che la tangente non deve essere parallela all'asse y.
Detto questo io farei:
1) Dominio di $f(x)$
2) da questo togliamo: punti angolosi, cuspidi e flessi a tangente verticale.
3) punti in cui derivata destra e derivata sinistra non esistono.
Calcolo la derivata:
$f'(x)=(2·e^(2·sqrtx))/(sqrtx·(e^(2·sqrtx) + 1)^2)+(sqrt2·e^(- x/2)·(e^(2·x) + 1))/(4·sqrt(e^(2·x) - 1))$
quindi escludiamo x=0. ( a meno di errori)
p.s.
già che ci sei togli anche l'apostrofo: "qual è" (l'aggettivo interrogativo quale non vuole l'apostrofo)
Intanto grazie per la risposta. Per quanto riguarda il punto numero tre avrei la seguente domanda:
Come faccio a determinare i punti in cui le derivate non coincidono?Uso la definizione di derivata passando a calcolare i limiti della funzione?
Mi potresti fare un esempio banale dato che non riesco a capire come verificare quali sono i punti nei quali le derivate non coincidono?
Grazie per l'interesse.
Luigi
P.s. Grazie per la dritta, apostrofo rimosso!
Come faccio a determinare i punti in cui le derivate non coincidono?Uso la definizione di derivata passando a calcolare i limiti della funzione?
Mi potresti fare un esempio banale dato che non riesco a capire come verificare quali sono i punti nei quali le derivate non coincidono?
Grazie per l'interesse.
Luigi
P.s. Grazie per la dritta, apostrofo rimosso!
"matematicamentenegato":
Mi potresti fare un esempio banale dato che non riesco a capire come verificare quali sono i punti nei quali le derivate non coincidono?
prima della colazione, posso solo offrirti:
$f(x)=|x|$
per cui è
$f'(0)_s=-1!=f'(0)_d=1$
nota: i pedici "s" e "d" indicano la derivata sinistra e destra.
"piero_":
[quote="matematicamentenegato"]Mi potresti fare un esempio banale dato che non riesco a capire come verificare quali sono i punti nei quali le derivate non coincidono?
prima della colazione, posso solo offrirti:
$f(x)=|x|$
per cui è
$f'(0)_s=-1!=f'(0)_d=1$
nota: i pedici "s" e "d" indicano la derivata sinistra e destra.[/quote]
l
Grazie per l'esempio, quello lo avevo visto anche sul libro di teoria...
Se adesso vorrei calcolare l'insieme di derivabilità della funzione $f(x)=sqrt(ln(x^2-1))$ farei cosi:
1)Determino il Dominio
2)Determino punti angolosi, cuspidi e tangenti...
3)Calcolo la derivate destra e sinistra della funzione?
Nessun suggerimento?
Tutti i matematici sono in ferie???
Tutti i matematici sono in ferie???
Up
Non riesco a venirne a capo ragazzi....non dovrebbe essere troppo difficile trovare l'insieme di derivabilità della funzione
$sqrt(ln(x^2-1))$
ln=logaritmo naturale
Non riesco a venirne a capo ragazzi....non dovrebbe essere troppo difficile trovare l'insieme di derivabilità della funzione
$sqrt(ln(x^2-1))$
ln=logaritmo naturale
UP:-)
$x in (-oo, -sqrt2)uu(sqrt2,+oo)$ è la condizione per il dominio. non credo ci siano punti di non derivabilità. prova e facci sapere. ciao.
Io non riesco a venirne a capo. Nel senso che per determinare l'insieme di derivabilità so che devo trovare l'insieme in cui la funzione è derivabile. Una condizione necessaria ma non sufficente è che la funzione sia continua, quindi inizio con il calcolare l'insieme di continuità della funzione. Poi?Faccio la derivata della funzione?Oppure faccio lo studio della funzione per ricercare eventuali cuspidi, punti angolosi,flessi?
"adaBTTLS":
$x in (-oo, -sqrt2)uu(sqrt2,+oo)$ è la condizione per il dominio. non credo ci siano punti di non derivabilità. prova e facci sapere. ciao.
ho rivisto dopo diverso tempo questo topic, e mi pare che quello che avevo scritto è proprio l'insieme di derivabilità, perché il dominio invece comprende anche i punti $x=+-sqrt2$.
vanno bene entrambe le strade, anche perché per il grafico della funzione servono entrambi i procedimenti, e spesso si ha conferma della correttezza dell'uno mediante l'altro. qui mi pare che, a parte gli estremi del dominio ($x=+-sqrt2$), la funzione sia derivabile ovunque. puoi anche fare appello al teorema di derivabilità delle funzioni composte.
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