Insieme di definizione $ x^4+ y^4 <= 1 $ (per calcolo estremi assoluti)

[robying1]

Buongiorno,
mi trovo a risolvere questo esercizio sulla determinazione degli estremi assoluti della funzione

$ f(x,y)= x+2 y^4 $

ristretta all'insieme

$ K= {(x,y) in R^2 : 0 <= x, 0 <=y, x^4 + y^4 <=1 } $

Ora io generalmente mi trovo a disegnare insiemi con funzioni del 2° ordine al massimo.
Come posso fare?

Sicuramente ci sarà da adottare un accorgimento che non conosco ...per riportarmi ad un caso che saprei studiare.

Io avevo pensato a sostituire
$ x^2 = t , y^2 = v $


Può andar bene?
Qualcuno può aiutarmi?
Grazie

[gugo82]

Beh, esplicitando, il tuo insieme è costituito dai punti del piano le cui coordinate soddisfano le limitazioni:
\[
0\leq x \leq 1,\quad 0 \leq y\leq \sqrt[4]{1-x^4}
\]
ed il grafico della funzione che delimita il dominio, i.e. \(f(x):=\sqrt[4]{1-x^2}\), lo sai disegnare (basta un piccolo studio di funzione).
Viene fuori una cosa del genere:
[asvg]xmin=0; xmax=2; ymin=0; ymax=2;
axes("","");
stroke="red"; strokewidth=2; path([[1,0],[0,0],[0,1]]);
plot("(1-x^4)^(1/4)",0,1);[/asvg]
cioé un quarto di uno pseudo-cerchio, un po' più schiacciato sugli assi di quanto non lo sia un cerchio vero e proprio.

[rino6999]

essendo
$ (partial f)/(partial x) $diverso da zero per ogni x del dominio,il massimo ed il minimo vengono assuntisulla frontiera
quindi devi studiare le funzioni
$f(x)=x $con \(\displaystyle 0\leq x\leq1 \)
$g(y)=2y^4 $con \(\displaystyle 0\leq y \leq1 \)
ed inoltre nota che sulla curva di equazione$x^4+y^4=1 $si ha $y^4=1-x^4$
quindi la terza funzione da studiare è
$h(x)=x+2(1-x^4) $con \(\displaystyle 0\leq x \leq 1 \)