Insieme derivabilità delle funzioni a più variabili
Salve ho un grande dubbio.Alcune funzioni ad esempio la radice non sono derivabili nel punto 0.vorrei sapere se nello studio di una funzione a più variabili mi basta dire che tutti i punti in cui la funzione vale 0 sono punti in cui la funzione non è derivabile.Vi faccio un esempio se prendiamo $ sqrt(xy) $ ci studiamo l'insieme di definizione {x<0 e y<0}U{x>0 e y>0}(primo e 3° quadrante) e sappiamo che questa funzione è derivabile nel suo interno.Inoltre per vedere i punti in cui non è derivabile la funzione radice poniamo l'argomento della radice uguale a zero per escludere appunto i punti in cui la funzione non è derivabile.in questo caso ci viene xy=0 ---> y=0(asse x) oppure x=0 (asse y) quindi non sono punti in cui la funzione è derivabile.se però facciamo il rapporto incrementale della funzione nel punto (0,0) mi trovo che le derivate parziali rispetto a x e rispetto a y di questo punto coincidono sono finiti e valgono 0 entrambe.Questo significa che quindi il punto (0,0) è derivabile?se è così quindi tutti i punti dell'asse x e dell'asse y non sono derivabili tranne il punto (0,0)?oppure sto prendendo una grande svista?vi prego di studiarmi l'insieme di derivabilità di questa funzione per eliminare i miei dubbi.aspetto con ansia vostre notizie sabato ho una prova.vi ringrazio anticipatamente
Risposte
"Giuly19":
L'esistenza della derivata direzionale in un punto prescinde dalla continuità della funzione derivata in quel punto! Ricordati l'esempio che trovi praticamente ovunque della funzione da $RR$ in $RR$ la cui derivata non ha limite per $x->0$, ma la funzione è derivabile in 0, mi pare fosse $ f(x)=x^2 sin(1/x).
Insomma la tua prof ha ragione, se applicando la definizione riesci a far vedere che il limite è 0 sei a posto, e ovviamente ciò implica l'esistenza di tutte le derivate direzionali in quel punto!
Mmmh, aspetta forse mi sono spiegato male.
La funzione derivata parziale rispetto a y su (0,0) esiste e vale 0 (se possiamo chiamare derivata questo tipo di rapporto incrementale, in cui l'incremento della y può essere soltanto positivo), il problema è che (0,0) è un punto di frontiera.
Applicando la definizione di differenziabilità, mi verrebbe che la funzione è differenziabile in (0,0), però non esistono tutte le derivate direzionali in quel punto, perché la funzione in varie direzioni non esiste proprio! (esiste soltanto per y>=0).
Perciò mi chiedevo se era lecito applicare la differenziabilità sui punti di frontiera, visto che l'esistenza di tutte le derivate direzionali dovrebbe essere una condizione necessaria per la differenziabilità.
EDIT: o forse quel teorema (che dice che se una funzione è differenziabile in un punto esistono tutte le derivate direzionali) vale soltanto per aperti?
Eh sì, ho appena controllato. Da me si parla sempre e solo di domini aperti.
In effetti non mi ero mai posto questo problema, comunque in teoria se riesci ad applicare la definizione con successo dovrebbe essere differenziabile anche lì..
In effetti non mi ero mai posto questo problema, comunque in teoria se riesci ad applicare la definizione con successo dovrebbe essere differenziabile anche lì..
"Giuly19":
Eh sì, ho appena controllato. Da me si parla sempre e solo di domini aperti.
In effetti non mi ero mai posto questo problema, comunque in teoria se riesci ad applicare la definizione con successo dovrebbe essere differenziabile anche lì..
Però dissonance diceva che la differenziabilità non in insiemi aperti non fornisce informazioni, perciò volevo sapere cos'era possibile effettivamente dire in casi come questi. Cioè se si può effettivamente affermare che la funzione è differenziabile e che però in generale non è detto che valgano le varie proprietà che discendono dalla differenziabilità, oppure se delle proprietà valgono in maniera diversa (ad esempio potrebbero esistere le derivate direzionali solo nelle direzioni in cui la funzione è definita, non so), oppure se non si può dire che la funzione è differenziabile.
EDIT: eh il problema è anche che la mia professoressa ha definito la differenziabilità soltanto su un insieme aperto...
Beh ma se ci pensi bene le direzioni esistono tutte, solo che si parla di derivata destra o sinistra a seconda del dominio; nel senso che se fai il rapporto incrementale in una direzione, stai già considerando anche quella opposta! Era una cosa che dicevo anche fino a due giorni fa sempre in questa discussione! In ogni caso questo non risolve il problema..
Secondo me ha poco senso chiedersi se
$f(x, y)=xsqrt(y) quad x \in RR, y ge 0$
sia differenziabile in $(0,0)$, perché questo punto non è interno al dominio. Ma comunque, volendo fare un esercizio potremmo ugualmente calcolare questo limite e vedere se vale $0$:
$lim_{(h, k) \to (0, 0), kge0} ( (0+h)sqrt(0+k) )/(sqrt(h^2+k^2))$
ed infatti è così, vale $0$. In questo senso potremmo dire che $f$ è "differenziabile" in $(0,0)$. Ma è comunque una differenziabilità seriamente azzoppata.
$f(x, y)=xsqrt(y) quad x \in RR, y ge 0$
sia differenziabile in $(0,0)$, perché questo punto non è interno al dominio. Ma comunque, volendo fare un esercizio potremmo ugualmente calcolare questo limite e vedere se vale $0$:
$lim_{(h, k) \to (0, 0), kge0} ( (0+h)sqrt(0+k) )/(sqrt(h^2+k^2))$
ed infatti è così, vale $0$. In questo senso potremmo dire che $f$ è "differenziabile" in $(0,0)$. Ma è comunque una differenziabilità seriamente azzoppata.
Un po' come per le derivate:
- serve che il punto in cui si valuta la differenziabilità stia nel dominio della funzione (il valore di $f$ in quel punto entra nella definizione...)
- serve che sia punto di accumulazione, visto che dobbiamo calcolare un limite
Basta? Io mi metterei nelle condizioni in cui si possa garantire che, se il differenziale esiste, esso sia unico. Quindi, se $f$ è definita, ad esempio, solo sull'asse delle $x$, sono soddisfatte le due condizioni prima indicate (per l'analisi della differenziabilità in $(0,0)$ ad esempio). Ma non c'è unicità del "differenziale" (ovvero, della funzione lineare che "meglio approssima" l'incremento della $f$).
Altri suggerimenti?
Notare che una funzione può essere differenziabile con "differenziale univocamente determinato" senza avere nessuna derivata parziale e neanche direzionale! Cioè, cade un pezzo del "teorema del differenziale".
- serve che il punto in cui si valuta la differenziabilità stia nel dominio della funzione (il valore di $f$ in quel punto entra nella definizione...)
- serve che sia punto di accumulazione, visto che dobbiamo calcolare un limite
Basta? Io mi metterei nelle condizioni in cui si possa garantire che, se il differenziale esiste, esso sia unico. Quindi, se $f$ è definita, ad esempio, solo sull'asse delle $x$, sono soddisfatte le due condizioni prima indicate (per l'analisi della differenziabilità in $(0,0)$ ad esempio). Ma non c'è unicità del "differenziale" (ovvero, della funzione lineare che "meglio approssima" l'incremento della $f$).
Altri suggerimenti?
Notare che una funzione può essere differenziabile con "differenziale univocamente determinato" senza avere nessuna derivata parziale e neanche direzionale! Cioè, cade un pezzo del "teorema del differenziale".
Quindi nel caso in cui una funzione sia differenziabile in un punto di frontiera (e solo in questo caso), non è detto che valgano i risultati che derivano dalla differenziabilità in un aperto, anche se si può ugualmente parlare di differenziabilità. Giusto? Ho capito bene?
"abral":
Quindi nel caso in cui una funzione sia differenziabile in un punto di frontiera (e solo in questo caso), non è detto che valgano i risultati che derivano dalla differenziabilità in un aperto
Esatto, non è detto. Per esempio, potrebbero neanche esistere le derivate parziali.
"abral":
anche se si può ugualmente parlare di differenziabilità. Giusto? Ho capito bene?
Sì, direi che volendo se ne può parlare, usando una definizione come quella che prospettavo.
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