Insieme derivabilità delle funzioni a più variabili
Salve ho un grande dubbio.Alcune funzioni ad esempio la radice non sono derivabili nel punto 0.vorrei sapere se nello studio di una funzione a più variabili mi basta dire che tutti i punti in cui la funzione vale 0 sono punti in cui la funzione non è derivabile.Vi faccio un esempio se prendiamo $ sqrt(xy) $ ci studiamo l'insieme di definizione {x<0 e y<0}U{x>0 e y>0}(primo e 3° quadrante) e sappiamo che questa funzione è derivabile nel suo interno.Inoltre per vedere i punti in cui non è derivabile la funzione radice poniamo l'argomento della radice uguale a zero per escludere appunto i punti in cui la funzione non è derivabile.in questo caso ci viene xy=0 ---> y=0(asse x) oppure x=0 (asse y) quindi non sono punti in cui la funzione è derivabile.se però facciamo il rapporto incrementale della funzione nel punto (0,0) mi trovo che le derivate parziali rispetto a x e rispetto a y di questo punto coincidono sono finiti e valgono 0 entrambe.Questo significa che quindi il punto (0,0) è derivabile?se è così quindi tutti i punti dell'asse x e dell'asse y non sono derivabili tranne il punto (0,0)?oppure sto prendendo una grande svista?vi prego di studiarmi l'insieme di derivabilità di questa funzione per eliminare i miei dubbi.aspetto con ansia vostre notizie sabato ho una prova.vi ringrazio anticipatamente
Risposte
Non si capisce bene cosa intendi, dire che un punto è derivabile non mi sembra abbia molto senso. Se intendi che la funzione è derivabile rispetto a x e rispetto a y, allora hai ragione, in tutti gli altri casi mi pare tu ti stia sbagliando.
Mi spiego: puoi dire che la funzione è derivabile in un punto $ul(a)=(a_1,a_2)$ in ogni direzione, se per ogni $ul(v)=(alpha,beta)$ esiste finito $lim_(t->0) (f(a_1+alpha*t,a_2+beta*t)-f(a_1,a_2))/t$. Se è questa la definizione che hai applicato allora è vero che la funzione è derivabile rispetto a x e y nel punto $(0,0)$, cioè prendendo $ul(v)=(1,0)$ e $ul(v)=(0,1)$, ma non è derivabile rispetto a ogni altro $ul(v)=(alpha,beta)$, eccetto quei due e loro multipli, perchè quel limite non esiste!
Sull'asse x e y è vero che la funzione non è derivabile rispetto a ogni vettore appartenente all'insieme di definizione, ma non lo puoi dedurre da quello che hai scritto, devi fare anche qui il limite di con $f(c,y)$ e $f(x,c)$ e vedere che non è finito.
Se intendevi differenziabile allora è un'altra questione.
Mi spiego: puoi dire che la funzione è derivabile in un punto $ul(a)=(a_1,a_2)$ in ogni direzione, se per ogni $ul(v)=(alpha,beta)$ esiste finito $lim_(t->0) (f(a_1+alpha*t,a_2+beta*t)-f(a_1,a_2))/t$. Se è questa la definizione che hai applicato allora è vero che la funzione è derivabile rispetto a x e y nel punto $(0,0)$, cioè prendendo $ul(v)=(1,0)$ e $ul(v)=(0,1)$, ma non è derivabile rispetto a ogni altro $ul(v)=(alpha,beta)$, eccetto quei due e loro multipli, perchè quel limite non esiste!
Sull'asse x e y è vero che la funzione non è derivabile rispetto a ogni vettore appartenente all'insieme di definizione, ma non lo puoi dedurre da quello che hai scritto, devi fare anche qui il limite di con $f(c,y)$ e $f(x,c)$ e vedere che non è finito.
Se intendevi differenziabile allora è un'altra questione.
"Giuly19":
Non si capisce bene cosa intendi, dire che un punto è derivabile non mi sembra abbia molto senso. Se intendi che la funzione è derivabile rispetto a x e rispetto a y, allora hai ragione, in tutti gli altri casi mi pare tu ti stia sbagliando.
Mi spiego: puoi dire che la funzione è derivabile in un punto $ul(a)=(a_1,a_2)$ in ogni direzione, se per ogni $ul(v)=(alpha,beta)$ esiste finito $lim_(t->0) (f(a_1+alpha*t,a_2+beta*t)-f(a_1,a_2))/t$. Se è questa la definizione che hai applicato allora è vero che la funzione è derivabile rispetto a x e y nel punto $(0,0)$, cioè prendendo $ul(v)=(1,0)$ e $ul(v)=(0,1)$, ma non è derivabile rispetto a ogni altro $ul(v)=(alpha,beta)$, eccetto quei due e loro multipli, perchè quel limite non esiste!
Sull'asse x e y è vero che la funzione non è derivabile rispetto a ogni vettore appartenente all'insieme di definizione, ma non lo puoi dedurre da quello che hai scritto, devi fare anche qui il limite di con $f(c,y)$ e $f(x,c)$ e vedere che non è finito.
Se intendevi differenziabile allora è un'altra questione.
si comunque intendevo che la funzione è derivabile rispetto a x e a y nel punto (0,0).ho capito cosa intendi.quindi nell'interno dell'insieme di definizione la funzione è derivabile eccetto i punti degli assi x e y e quindi anche eccetto il punto (0,0).perche non esiste finito il limite verso tutte le direzioni del rapporto incrementale che hai appena scritto tu.io invece ho fatto il rapporto incrementale della funzione in (0,0) solo per gli assi x e y.e mi vengono uguali e questo non vuol dire sia derivabile giusto?insomma vorrei capire in questo esercizio se la prof mi chiede di trovare l'insieme di derivabilità cosa le devo rispondere..insieme di definizione escluso assi oppure insieme di definizione compreso escluso assi e derivabile pure in (0,0).grazie mille io ho fatto un pò di confusione poiche ieri ho studiato la differenziabilità.buona serata
Sinceramente non so cosa si intenda esattamente con quella domanda, aspetta il parere degli esperti. In ogni caso non importa se i limiti "per gli assi x e y" vengono uguali. Se esiste finito quello nella direzione dell'asse y allora la funzione è derivabile rispetto a y in quel punto, lo stesso per x.
Anch io mi sono posto le stesse domande ed ho lo stesso tipo di dubbio....(per curiosità salvio ma non è che per caso studi a Napoli?)...comuqnue il rapporto incrementale va svolto laddove le derivate rispetto agli assi perdono significato per quello che ho capito , cioè nei punti del tipo (x,0) e (0,y) nel tuo caso ( anche se non ne sono certo, ho preso spunto da un esercizio similare ) ;sinceramente spero che qualcuno ti risponda...
forse non mi so spiegare.in ogni caso per tagliare la testa al toro senza tanti discorsetti chiedo di studiare l'insieme di derivabilità della funzione $ sqrt(xy) $ .in ogni caso faccio ingegneria navale a napoli magari siamo dello stesso corso.buona serata ragazzi
"salvioc9":Si procede così. La funzione è definita su ${x ge 0, y ge 0}uu{x le 0, y le0}$ e in questo insieme è pure continua, perché è composizione di funzioni continue (radice quadrata e prodotto). Quando l'argomento della radice quadrata non si annulla, essa è derivabile; anche il prodotto puntuale è derivabile a volontà e di conseguenza la funzione è derivabile infinite volte in ${x >0, y > 0}uu{x<0, y < 0}$. Negli altri punti non ha senso parlare di derivate. Infatti, per funzioni di due (o più) variabili non esiste il concetto di derivata destra (o sinistra), quindi si possono prendere derivate solo nella parte interna del dominio della funzione.
chiedo di studiare l'insieme di derivabilità della funzione $ sqrt(xy) $i
Scusa Dissonance ma perchè non ha senso parlare di derivata sulla chiusura del dominio?
Io posso dire che è derivabile in una direzione appartenente al dominio, no?
Io posso dire che è derivabile in una direzione appartenente al dominio, no?
Si, in una direzione si. Lungo una direzione parlerai di derivata destra o derivata sinistra. Ma non ha senso parlare globalmente di derivabilità sul bordo del dominio. In due dimensioni non c'è destra né sinistra.
Vedi
https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#428024
Vedi
https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#428024
alla luce delle ulime considerazioni quindi deduco che la riposta alla domanda di savio sia: la funzione $sqrt(xy)$ è derivabile in tutto il dominio di definizione se e solo se è differenziabile in tale dominio giusto? quindi il problema è risolto se si fa vedere che la funzione è differenziabile... XD od ho appena detto un eresia?(in tal caso mi scuso in anticipo) 
Hai appena detto una eresia. 
No, davvero, paolo, hai detto una cosa che non sta né in cielo né in terra. Alla richiesta: "dove è derivabile la funzione tot?" tu devi esibire un dominio, non uscirtene con un "se e solo se". Cosa c'entra?
No, davvero, paolo, hai detto una cosa che non sta né in cielo né in terra. Alla richiesta: "dove è derivabile la funzione tot?" tu devi esibire un dominio, non uscirtene con un "se e solo se". Cosa c'entra?
Quindi se ,ad esempio ho una funzione definita in un cerchio chiuso di raggio r, e le derivate non sono definite sulla frontiera di tale cerchio è corretto dal punto di vista pratico effettuare il $lim x->x0[(f(x,y0)-f(x0,y0))/(x-x0)]$ calcolato nel punto generico della circonferenza (o meglio della frontiera del cerchio chiuso) $(x0,y0)$ dove appunto $y0=sqrt(r^2-x0^2)$ oppure tale operazione non ha senso? (Perche in tal caso il mio prof stava davvero male oggi )
Ma certo che tale operazione ha senso, non ho detto questo. Di solito in questi casi non si parla di derivate, ma certo può essere interessante studiare il comportamento di un rapporto incrementale sulla frontiera dell'insieme di definizione. In generale è una cosa che non ti serve a molto: il calcolo differenziale fornisce informazioni quando è fatto negli insiemi aperti.
Comunque, se il tuo prof adotta convenzioni diverse segui lui e non me. Se per lui quel limite che hai scritto è la derivata rispetto ad $x$ calcolata sul bordo del dominio, allora usa anche tu questa notazione, non ti fare confondere dai miei interventi.
Comunque, se il tuo prof adotta convenzioni diverse segui lui e non me. Se per lui quel limite che hai scritto è la derivata rispetto ad $x$ calcolata sul bordo del dominio, allora usa anche tu questa notazione, non ti fare confondere dai miei interventi.
Ho capito....grazie mille dissonance 
la mia era solo una curiosità !
la mia era solo una curiosità !
no dissonance forse mi sono espresso male..intendevo dire che: siccome hai detto che "si possono prendere derivate solo nella parte interna al dominio" allora per savio basta verificare in quali punti la funzione è differenziabile nel dominio di esistenza.
Ma lascia stare la differenziabilità. Stiamo parlando di derivabilità, non di differenziabilità, quello viene dopo.
la differenziabilità (in due dimensioni) non equivale alla derivabilità di funzioni di una variabile reale (unidimensionale)?
Concettualmente, si. Ma qui si sta parlando di derivabilità di una funzione di due variabili, una nozione distinta da quella di differenziabilità.
ah allora ok ...saresti così gentile da chiarirmi dunque i concetti e la differenza? per favore!
...saresti così gentile da chiarirmi dunque i concetti e la differenza? per favore!
paolo, come si dice spesso in altri forum, su domande del genere RTFM.
per Dissonance, avevo una domanda molto simile. Ho una funzione $ x sqrt(y) $, la cui derivata parziale rispetto a y, fatta brutalmente con le regole di derivazione, naturalmente non esiste in (0,0). Facendo il limite del rapporto incrementale, trovo che questo limite esiste soltanto nell'origine, e non in tutti gli altri punti dell'asse x.
Ora il limite della funzione $ f_y $ per $ (x,y)->(0,0) $ non esiste, quindi la $ f_y $ non è continua nell'origine.
Applicando la definizione di differenziabilità, il limite mi viene 0. Posso dire quindi che la funzione di partenza è differenziabile in quel punto? Io ho grossi dubbi, perché ad esempio la differenziabilità dovrebbe implicare l'esistenza delle derivate direzionali in ogni direzione (cosa che evidentemente in questo caso non è vera), però la mia professoressa afferma che è corretto...
per Dissonance, avevo una domanda molto simile. Ho una funzione $ x sqrt(y) $, la cui derivata parziale rispetto a y, fatta brutalmente con le regole di derivazione, naturalmente non esiste in (0,0). Facendo il limite del rapporto incrementale, trovo che questo limite esiste soltanto nell'origine, e non in tutti gli altri punti dell'asse x.
Ora il limite della funzione $ f_y $ per $ (x,y)->(0,0) $ non esiste, quindi la $ f_y $ non è continua nell'origine.
Applicando la definizione di differenziabilità, il limite mi viene 0. Posso dire quindi che la funzione di partenza è differenziabile in quel punto? Io ho grossi dubbi, perché ad esempio la differenziabilità dovrebbe implicare l'esistenza delle derivate direzionali in ogni direzione (cosa che evidentemente in questo caso non è vera), però la mia professoressa afferma che è corretto...
L'esistenza della derivata direzionale in un punto prescinde dalla continuità della funzione derivata in quel punto! Ricordati l'esempio che trovi praticamente ovunque della funzione da $RR$ in $RR$ la cui derivata non ha limite per $x->0$, ma la funzione è derivabile in 0, mi pare fosse $ f(x)=x^2 sin(1/x).
Insomma la tua prof ha ragione, se applicando la definizione riesci a far vedere che il limite è 0 sei a posto, e ovviamente ciò implica l'esistenza di tutte le derivate direzionali in quel punto!
Insomma la tua prof ha ragione, se applicando la definizione riesci a far vedere che il limite è 0 sei a posto, e ovviamente ciò implica l'esistenza di tutte le derivate direzionali in quel punto!
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