Insieme denso in un altro e insieme denso rispetto ad un altro

[marione111]

Salve.

Leggo la definizione di insieme denso in un altro. Per cui ad esempio l'insieme $Q$ è denso in $R$ in quanto ogni intervallo di $R$ contiene almeno un punto di $Q$. Ok.

Poi leggo un'altra definizione:

Se $X$ e $Y$ sono due insiemi numerici, si dice che $X$ è denso rispetto a $Y$ se $Y$ è contenuto in $X$ U $DX$ (derivato di X). Quindi $X$ è denso rispetto a $Y$ se e solo se per ogni $x$ appartenente a $Y$ e per ogni intorno $I$ di $x$ risulta che l'intersezione tra $I$ ed $X$ non è vuota.

C'è un errore nella seconda definizione o sono io che non capisco?

[vict85]

In genere si parla di chiusura più che di unione con il derivato, ma la definizione mi pare corretta.

Tra l'altro dicono praticamente la stessa cosa, solo che il primo usa un termine, intervallo, che non è definito in generale. Puoi sostituire l'intorno nel secondo con una palla aperta e il concetto rimane lo stesso.

[marione111]

Ma nel caso di $R$ e $Q$, $R$ è contenuto nell'unione tra $Q$ e $DQ$ ?

[vict85]

Si lo è.

[marione111]

Ah ecco, non riuscivo ad immaginarmi questa cosa. Quindi ogni punto irrazionale è un punto di accumulazione per l'insieme $Q$, ho capito bene? Grazie mille

[vict85]

Non è difficile da dimostrare. Prova a pensare alla scrittura decimale dei numeri reali.