Insieme dei maggioranti di \( \left[0,1\right] \)

[marco2132k]

Ciao, di nuovo. Guardando qualcosa di analisi elementare, mi ha assalito un dubbio riguardante maggioranti di un sottoinsieme di \( \mathbb{R} \): il testo dice che l'insieme dei maggioranti dell'intervallo reale \( S=\left[0,1\right[ \) è \( \left[1,+\infty\right[ \), io mi perdo sul verificare quest'affermazione.

Che sia \( \left[1,+\infty\right[\subset S^{*} \), dove \( S^{*} \) è l'insieme di tutti i maggioranti di \( S \), ci arrivo; non riesco a provare l'inclusione inversa. Assumiamo che \( m \) sia un maggiorante di \( S \), ma \( m<1 \). Allora dovrebbe esistere un qualche \( 0\leq x < 1\) strettamente maggiore di \( m \), per arrivare ad una contarddizione. Come dimostro ciò?

Ovviamente l'idea è di considerare un qualche \( \epsilon>0 \) per cui \( 1-\epsilon \) sia contenuto in \( \left[0,1\right[ \) e \( m<1-\epsilon\). Determinare quel numero pensandoci un po' potrei farlo, però mi rimane ancora il dubbio nel caso generico (anche se sono particolarmente interessato a questo caso particolare): se \( \left[a,b\right[ \) è un intervallo reale, come posso provare che \( {\left[a,b\right[}^{*} \) è \( \left[b,+\infty\right[ \)? (Intendo come superare i problemi legati ai segni, legati alla posizione dello zero sulla retta reale).

[gugo82]

Com’è definito $[0,1[$?
Quali sono le proprietà fondamentali del campo reale?

[marco2132k]

Tutto ciò che mi viene in mente è considerare, per il nostro \( m<1 \), un \( \epsilon>0 \) in modo che \( 1-\epsilon \) cada in \( S=\left[0,1\right[ \). Facendo un disegnino vedo che mi converrebbe, in alcuni casi, che fosse \( \epsilon\leq r \), dove con \( r \) intendo il raggio \( (1-m)/2 \) dell'intervallo \( \left]m,1\right[ \), in altri, che fosse \( \epsilon\leq1 \), ché \( 1 \) è il diametro di \( S \), e quando "\( m \) va fuori "più del dovuto" dall'intervallo, il punto \( x=1-\epsilon \) ne è, invece, ancora all'interno (\( r \) evidentemente in questo caso supera la misura di quel diametro, ergo non è detto che prendendo un \( \epsilon
Se quindi prendessi \( 0<\epsilon<\min\{r,1\} \), dovrei aver felicemente finito credo, ma mi continuo a bloccare nel verificare che ho effettivamente \( m<1-\epsilon \) e che quindi ho finito.

EDIT: se \( 0<\epsilon<1 \) allora \( 1-\epsilon\in\left[0,1\right[ \) come volevamo e, poi che \( 1\leq (1-m)/2 \) è \( 2\leq 1-m \), \( 1\leq -m \) ossia \( m\leq -1 \), che quindi soddisfa \( m

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[gugo82]

Se $m<1$, per densità, esiste qualche reale $xi$ compreso tra $max \{0,m\}$ ed $1$.[nota]Se non vuoi usare la densità, puoi costruire $xi$ esplicitamente, prendendolo uguale alla media tra $max \{0,m\}$ ed $1$.[/nota]
Dato che $[0,1[ :=\{ x in RR: 0<= x< 1\}$ e dato che $0<= max\{0,m\}

[marco2132k]

Wow. Era un po' più semplice di quanto credessi (forse anche il mio approccio aveva un suo perché, pure più astruso... ci devo pensare meglio). Grazie!