Insieme convessi in $RR$

[compa90]

Buongiorno

Ho la seguente definizione di insieme convesso
$AsubseteqRR^n$ si dice convesso se per ogni $x,y in A$ il segmento $[x,y]$ contenuto in $A$.

Invece, per segmento ho la seguente definizione
Siano $x,y in RR^n$ si dice segmento congiungente $x$ con $y$ l'insieme

$[x,y]={alpha*x+beta*y: alpha, beta in RR, alpha, beta ge 0, alpha+beta=1}$

Ora, sul mio libro ci sta
In $RR$ tutti e soli gli insieme convessi sono gli intervalli di qualsiasi natura.

Ora, gli intervalli di $RR$ che risultino convessi mi sembra chiaro, però che risultino soli no, ad esempio, se considero il singleton ${0}$ per dire che non è convesso devo verificare che la definizione non viene soddisfatta, quindi, in questo caso $x=0=y$, non ho altre scelte , allora devo verificare che il segmento

$[0,0]={alpha*0+beta*0: alpha, beta in RR, alpha, beta ge 0, alpha+beta=1}$

non sia contenuto in ${0}$

Ma il segmento $[0,0]={alpha*0+beta*0: alpha, beta in RR, alpha, beta ge 0, alpha+beta=1}={0}$

Dunque, dov'è il problema

[compa90]

"ViciousGoblin": La seconda definizione non contiene i singleton.

Mi voglio concentrare su questa, perché l'ho presa dal libro che seguo.

"ViciousGoblin":Nessuna delle due contiene gli intervalli illimitati.

Si ho sbagliato, nella fretta non l'ho riportata. Quindi in aggiunta si ha

${x in RR : x le a}$

${x in RR : x ge b}$

${x in RR : x < a}$

${x in RR : x > b}$

Ritornando alla tua domanda, potrei dire che un intervallo di qualsiasi natura è un sottoinsieme di $RR$ caratterizzato dall'assenza di buchi.

[ViciousGoblin]

"compa90":[quote="ViciousGoblin"]

Ritornando alla tua domanda, potrei dire che un intervallo di qualsiasi natura è un sottoinsieme di $RR$ caratterizzato dall'assenza di buchi.

[/quote]
Sarebbe una possibilità . Anche se sarebbe quasi lo stesso che chiedere la convessità.
Guarda ... ti riassumeo quelle che io vedo come possibili definiizioni di intervallo - potresti controllare che siano equivalenti

Sia dato $I\subset\mathbb{R}$ .

(1) (lista di tutti i casi)
Dati $a\leq b$ in $\mathbb{R}$ dico che $I$ è un intervallo limitato di estremi $a$ e $b$
se vale una tra le seguenti:
$I=\{x\in\mathbb{R}\,:\, a \leq x\leq b\}$, $I=\{x\in\mathbb{R}\,:\, a < x\leq b\}$, $I=\{x\in\mathbb{R}\,:\, a \leq x< b\}$, $I=\{x\in\mathbb{R}\,:\, a < x< b\}$;
dato $c$ in $\mathbb{R}$ dico che $I$ è una semiretta se :
$I=\{x\in\mathbb{R}\,:\, x\leq c\}$, $I=\{x\in\mathbb{R}\,:\, x Dico che $I$ è un intervallo se $I$ è un intervallo limitato, se $I$ è una semiretta, se $I=\mathbb{R}$ o se $I=\emptyset$ (il vuoto verifica tutte le proprietà ed è meglio mettercelo...). Naturalmente si introducono anche le notazioni $[a,b]$, $(a,b]$, $[a,b)$, $(a,b)$, $[a,b]$, $[c,+\infty)$, $(c,+\infty)$, $(-\infty,c]$ e $(-\infty,c)$.

(2) (trucco con gli infiniti) Se considero $\mathbb{R}^\star:=\mathbb{R}\cup\{-\infty,+\infty\}$ ed estendo la relazione d'ordine nel modo solito posso dire che $I$ è un intervallo di $\mathbb{R}$ se e solo se esistono $a$ e $b$ in $\mathbb{R}^\star$ tale che

$I=\{x\in\mathbb{R}\,:\,a\leq x\leq b\}$ oppure $I=\{x\in\mathbb{R}\,:\,a< x\leq b\}$ oppure $I=\{x\in\mathbb{R}\,:\,a\leq x< b\}$ oppure $I=\{x\in\mathbb{R}\,:\,a
(3) (per connessione) $I$ è un intervallo se e solo se $I$ è connesso.

(4) ($I$ non ha buchi - quello che mi pare volevi dire tu) Per ogni $a,b,c$ in $\mathbb{R}$, se $a\leq b\leq c$ e se $a,c\in I$, allora $b\in I$.

(5) (variante di (4) ) Se $\mbox{inf} I\leq t\leq \mbox{sup} I$, allora $t\in I$.

Una qualunque di queste equivale alla convessità (in $\mathbb{R}).

[compa90]

Io sono d'accordo con quello che dici tu.

Il problema è un altro, la definizione che ho sul libro è diversa, prendiamo solo il caso limitato se non ce ne usciamo , per definirli, vengono presi $a,b in RR $ come $a Qui o c'è un errore di scrittura, oppure pagani-salsa sono fritti si scherza...stima

Non so se mi sono spiegato

[ViciousGoblin]

Certo se nel libro gli intervalli sono solo limitati allora questi non esaurisconi i convessi. Purtroppo non ho qui a casa il Pagani Salsa e non posso controllare che da qualche altra parte loro non integrino la definzione. Una svista può capitare a tutti - l'importante è capire la cosa.

[compa90]

No ci mancherebbe.

Comunque grazie per il\i chiarimento\i.

[gugo82]

In merito ad intervalli ed intorno, questa potrebbe essere una lettura interessante.

[compa90]

La proposizione 2 presente nel pdf, dovrebbe essere conseguenza del teorema di completezza ?

[gugo82]

Solo perché ci vedi $"inf"$ e $"sup"$ non vuol dire che c'entri la Proprietà di Completezza.
Visto che il tuo intuito matematico non è ancora ben affinato, l'unico modo che hai per capire se una tua intuizione è una buona intuizione è scrivere una dimostrazione.
Hai provato?

[compa90]

Non ho provato.

Ora ci provo e riporto qui.

Ciao