Insieme convessi in $RR$

[compa90]

Buongiorno

Ho la seguente definizione di insieme convesso
$AsubseteqRR^n$ si dice convesso se per ogni $x,y in A$ il segmento $[x,y]$ contenuto in $A$.

Invece, per segmento ho la seguente definizione
Siano $x,y in RR^n$ si dice segmento congiungente $x$ con $y$ l'insieme

$[x,y]={alpha*x+beta*y: alpha, beta in RR, alpha, beta ge 0, alpha+beta=1}$

Ora, sul mio libro ci sta
In $RR$ tutti e soli gli insieme convessi sono gli intervalli di qualsiasi natura.

Ora, gli intervalli di $RR$ che risultino convessi mi sembra chiaro, però che risultino soli no, ad esempio, se considero il singleton ${0}$ per dire che non è convesso devo verificare che la definizione non viene soddisfatta, quindi, in questo caso $x=0=y$, non ho altre scelte , allora devo verificare che il segmento

$[0,0]={alpha*0+beta*0: alpha, beta in RR, alpha, beta ge 0, alpha+beta=1}$

non sia contenuto in ${0}$

Ma il segmento $[0,0]={alpha*0+beta*0: alpha, beta in RR, alpha, beta ge 0, alpha+beta=1}={0}$

Dunque, dov'è il problema

[ViciousGoblin]

Il singleton è convesso ed è un intervallo.

[compa90]

L'ho sospettato ...però leggi questa definizione che ho sullo stesso libro.
Siano due numeri reali $a,b$ con $a Quindi $a,b$ come dovrebbero essere presi affinché $(a,b)={0}$?

[ghira1]

Anche l'insieme vuoto è convesso.

[ghira1]

"compa90":
Quindi $a,b$ come dovrebbero essere presi affinché $(a,b)={0}$?

L'hai detto tu. $[0,0]={0}$.

[compa90]

Scusate, però, cosi gli elementi dell'intervallo $(0,0)$ devono soddisfare questa relazione $0 Questa relazione mica ha senso ?

[Mephlip]

Per l'insieme vuoto e per l'intervallo degenere, la definizione di insieme convesso è vacuamente vera: ossia, è un'implicazione con l'antecedente falsa e, pertanto, l'implicazione è vera. La scrittura $0

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[compa90]

ciao, per intervallo degenere intendi, intervallo con estremi coincidenti?

Qui non capisco

"Mephlip": un'implicazione con l'antecedente falsa e, pertanto, l'implicazione è vera.

[megas_archon]

"compa90":ciao, per intervallo degenere intendi, intervallo con estremi coincidenti?

Qui non capisco
[quote="Mephlip"] un'implicazione con l'antecedente falsa e, pertanto, l'implicazione è vera.

[/quote]
Se $p$ è falsa, \(p\to q\) è vera: se $E$ è un elefante nel tuo salotto, $E$ è rosa.

[Mephlip]

"compa90":ciao, per intervallo degenere intendi, intervallo con estremi coincidenti?

Sì!

Per il resto, vedi la risposta di megas_archon.

[compa90]

Perfetto, ora sembra più chiaro.

Quindi, ora nel caso specifico $p$ falsa, indica che l'insieme ${x in RR : 0
Cosi?

[megas_archon]

No, ${x in RR : 0

Cita

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[compa90]

Hai ragione me l'ha fatto osservare anche Mephlip.

Ora nella definizione, non se è corretto utilizzare le locazione ipotesi e tesi, spero che nessuno si arrabbi, nell'eventualità chiedo grazia comunque, l'ipotesi dovrebbe essere questa
Sia $AsubseteqRR^n$, se per ogni $x,y in A$ il segmento $[x,y]$ contenuto in A
invece, la tesi dovrebbe essere questa
$A$ convesso.

Corretto ?

[megas_archon]

Ci sono diverse definizioni equivalenti di "insieme convesso". Se sono equivalenti, cioè se si bi-implicano, puoi usare una o l'altra a seconda di quanto fa comodo.

Mi sembri solo molto confus@ rispetto a questo semplice fatto: c'è differenza tra una proposizione falsa e una che "non ha senso".

[compa90]

No,non c'è nessuna differenza.

Però questo cosa significa? ... Io sto provando a capire chi sono $p$ falsa e $p to q$ vera

[megas_archon]

E invece c'è differenza, è proprio quel che ti ho detto.

[compa90]

Ciao

Quindi, dovrebbe essere cosi:
proposizione falsa, significa che l'enunciato della stessa è falso, esempio il numero $2$ è dispari.
Invece, la proposizione che non ha senso, significa che l'enunciato non ha significato, esempio Roma è bella.

cosi?

[ViciousGoblin]

"compa90":Ciao

Quindi, dovrebbe essere cosi:
proposizione falsa, significa che l'enunciato della stessa è falso, esempio il numero $2$ è dispari.
Invece, la proposizione che non ha senso, significa che l'enunciato non ha significato, esempio Roma è bella.

cosi?

Sì più o meno. In realtà come enunciato senza significato avrei preso qualcosa tipo "Roma è in invertebrato"
(per non parlare della famosa "Incolori idee verdi dormono furiosamente"...).

Comunque io direi che in matematica tutte le proposizioni "ben formate" sono sensate e dunque ha senso chiedersene il valore di verità. Il problema in cui si può incappare è di costruire "affermazioni" sintatticamente scorrette (per esempio usando male i quantificatori). Per esempio "x di dice interessante se per ogni y x=z". Anche "per ogni x esiste x tale che x=x^2" per me è problematica (credo che sia ammissibile anche se poco utile). Un'altra cosa che può capitare è di avere un'idea non chiara e dunque non riuscire a formalizzarla correttamente, oppure di non rendersi conto di usare formalizzazioni diverse che non sono equivalenti .

Riguardo alle implicazione di cui si parlava: la proposizione "se 3 è pari allora 5 è pari" è vera (e te la dimostro facilmente...)

[ViciousGoblin]

"compa90":Buongiorno

Ho la seguente definizione di insieme convesso
$AsubseteqRR^n$ si dice convesso se per ogni $x,y in A$ il segmento $[x,y]$ contenuto in $A$.

Invece, per segmento ho la seguente definizione
Siano $x,y in RR^n$ si dice segmento congiungente $x$ con $y$ l'insieme

$[x,y]={alpha*x+beta*y: alpha, beta in RR, alpha, beta ge 0, alpha+beta=1}$

Ora, sul mio libro ci sta
In $RR$ tutti e soli gli insieme convessi sono gli intervalli di qualsiasi natura.

Ora, gli intervalli di $RR$ che risultino convessi mi sembra chiaro, però che risultino soli no, ad esempio, se considero il singleton ${0}$ per dire che non è convesso devo verificare che la definizione non viene soddisfatta, quindi, in questo caso $x=0=y$, non ho altre scelte , allora devo verificare che il segmento

$[0,0]={alpha*0+beta*0: alpha, beta in RR, alpha, beta ge 0, alpha+beta=1}$

non sia contenuto in ${0}$

Ma il segmento $[0,0]={alpha*0+beta*0: alpha, beta in RR, alpha, beta ge 0, alpha+beta=1}={0}$

Dunque, dov'è il problema

Ho visto che la discussione è andata avanti ma riparto dall'inizio. Secondo me il punto che dovresti risolvere è:
cosa si intende per "intervallo di qualsiai natura" ?
Prova a darne una definizione e poi vediamo se (usando la tua definizione) l'affermazione del tuo libro è vera o falsa. (mi pare viceversa che la definizione di convesso, per come l'hai scritta, sia chiara).

[compa90]

Buongiorno.

Ho fatto un giro sul web ed ho trovato la seguente definizione di intervallo
Siano $a,b in RR$ tali che $aleb$ si definisce intervallo uno dei seguenti sottoinsiemi di $RR$

$[a,b]={x in RR : a le x le b}$

$[a,b)={x in RR : a le x < b}$

$(a,b]={x in RR : a < x le b}$

$(a,b)={x in RR : a < x < b}$

Invece, la definizione che ho sul libro che sto seguendo è
Siano $a,b in RR$ tali che $a

$[a,b]={x in RR : a le x le b}$

$[a,b)={x in RR : a le x < b}$

$(a,b]={x in RR : a < x le b}$

$(a,b)={x in RR : a < x < b}$

Il singleton di $a in RR$ lo posso riguardare, rispetto alla prima definizione, come $[a,a]={x in RR : a le x le a}={a}$, però rispetto alla seconda definizione non ci sono

[ViciousGoblin]

Con le definizioni che hai riportato non è vero che i convessi nei reali coincidono con gli intervalli. La seconda definizione non contiene i singleton. Nessuna delle due contiene gli intervalli illimitati.