Insieme compatto

[JustBreathe1]

Buonasera!

Sarei interessato a scoprire come mai un insieme è limitato e chiuso se e solo se è "compatto per successioni".

La domanda è bruttina a causa della situazione nella quale mi ritrovo:
Tra dieci giorni avrò l'esame di Analisi, ed il professore non ha trattato il tema topologico degli insiemi compatti.
Tuttavia, nell'unica lezione in cui sono mancato, ha precisato che ci tiene molto che gli studenti abbiano chiaro il punto da me sopra citato (limitato e chiuso - compatto per successioni).

Sono andato a ricercare un po' la nozione su vari libri ma viene spiegato il tema in maniera ampia parlando di ricoprimento. Inoltre, purtroppo, non viene toccato il punto del collegamento con le successioni (unico punto per me necessario al momento).
Dato che ho poco tempo per approfondire (adesso), qualcuno saprebbe spiegarmi questo punto preciso?

[anto_zoolander]

Ciao!

L’esame è di analisi uno?

[JustBreathe1]

"anto_zoolander":Ciao!

L’esame è di analisi uno?

Nein, è di Analisi 2.
P.s. Le successioni di funzioni e le serie, anche se in molti corsi vengono fatte ad Analisi 1, a noi sono state proposte per l'Analisi 2, just as info.

[anto_zoolander]

Ok perfetto

Ti è chiaro che in $RR$ un insieme è compatto per successioni se e solo se è chiuso è limitato?
Se questo ti è chiaro il resto è una conseguenza di questo fatto estesa per induzione

Ad ogni modo il motivo per cui questa cosa accade è legata alla compattezza per ricoprimenti e alcune questioni topologiche.

[JustBreathe1]

"anto_zoolander":Ok perfetto

Ti è chiaro che in $RR$ un insieme è compatto per successioni se e solo se è chiuso è limitato?

Purtroppo questo punto non mi è chiaro.
Le uniche cose che so sono le seguenti:
-Che cosa è un insieme chiuso e limitato;
-La definizione di compattezza per successioni, ovvero: "un insieme si dice compatto per successioni se da ogni successione di elementi dell'insieme, posso estrarre una sottosuccessione convergente ad un elemento dell'insieme."
Riesco a figurarmi questa definizione, a comprenderla.

Tuttavia non riesco a capire cosa lega i due concetti.

[anto_zoolander]

Intanto partiamo da compatto implica chiuso e limitato.

La compattezza per successioni praticamente ti vuole dire che ogni successione è sempre arbitrariamente vicina a qualche punto dell'insieme ossia non scappa.

una cosa importante è in un compatto deve accadere anche la seguente cosa:

se una successione ${a_n}$ in un sottoinsieme compatto $K$ di $RR$ converge in $RR$ allora ${a_n}$ ammetterebbe una sottosuccessione convergente in $K$ e poiché il limite della sottosuccessione coincide con quello della intera successione si ottiene che il limite sta in $K$

questo significa che $K$ contiene il limite di tutte le sue successioni che convergono in $RR$ e questo cosa significa? che $K$ deve essere necessariamente chiuso.

prova a dimostrare che un insieme $C$ è chiuso se e solo se per ogni successione a valori in $C$ che converge in $RR$ deve convergere anche in $C$

la limitatezza è data dal fatto che se $K$ fosse illimitato potremmo trovare in esso una successione divergente dal quale non potremmo estrarre alcuna sottosuccessione convergente(divergerebbero tutte le sottosuccessioni)

per esempio l'insieme $(0,1]$ non è chiuso e pertanto nemmeno compatto infatti la successione ${1/n}_(n in NN)$ è a valori in $(0,1]$ e ogni sottosuccessione converge in $RR$ a $0$ quindi non può convergere in $(0,1]$

Puoi notare che non abbiamo usato chissà quale proprietà di $RR$ se non quelle date dalla sua topologia.

Fino a quì ci sei?

[JustBreathe1]

"anto_zoolander":

per esempio l'insieme $(0,1]$ non è chiuso e pertanto nemmeno compatto infatti la successione ${1/n}_(n in NN)$ è a valori in $(0,1]$ e ogni sottosuccessione converge in $RR$ a $0$ quindi non può convergere in $(0,1]$

Puoi notare che non abbiamo usato chissà quale proprietà di $RR$ se non quelle date dalla sua topologia.

Fino a quì ci sei?

Grande! Niente di meglio di qualche buon esempio per capire.
Sì, fino a qui ci sono.

[JustBreathe1]

"anto_zoolander":

Fino a quì ci sei?

Come dimostreresti il viceversa?

[anto_zoolander]

Partiamo dalle conseguenze dell'essere chiuso e limitato

sia $C$ un insieme chiuso e limitato e ${x_n}_(n in NN)subsetC$ una successione a valori in esso

come interviene la limitatezza?
essendo $C$ limitato anche la successione ${x_n}$ dovrà esserlo no?
Quindi già si ottiene che la limitatezza si ripercuote su ogni successione a valori nell'insieme

come interviene la chiusura?
In generale se una successione è limitata, in $RR$, essa ammette sempre una sottosuccessione convergente in $RR$ ma essendo $C$ chiuso e la successione a valori in tale insieme il suo limite deve stare nel chiuso.

unendo tutto otteniamo:

se una successione sta in un chiuso e limitato allora ogni successione è limitata ed ammette una sottosuccessione convergente in $RR$ che per chiusura la costringe a convergere nel chiuso ovvero è compatto per successioni.

Quindi l'unica cosa che bisogna dimostrare è che una successione limitata in $RR$ ammette sempre una sottosuccessione convergente

supponiamo che ${x_n}_(n in NN)$ sia una successione limitata e facciamo la seguente cosa

1. poniamo $lambda_0= s u p_(n in NN){x_n}$

per $epsilon=2^0=1$ esiste un $k_1 in NN$ tale che $lambda_0-1
2. poniamo $lambda_1= s u p_(n>k_1){x_n}$

per $epsilon=2^(-1)=1/2$ esiste un $k_2>k_1$ per cui $lambda_1-1/2
3. poniamo $lambda_2= s u p_(n>k_2){x_n}$

per $epsilon=2^(-2)=1/4$ esiste un $k_3>k_2$ per cui $lambda_2-1/4
con un colpo di induzione o di assioma della scelta(non mi sono mai soffermato su questo particolare perché la costruzione è abbastanza evidente, ma impostando uno dei due si può provare formalmente) si prova che esiste una successione $k_n:NN->NN$ strettamente crescente per cui

$lambda_(n-1)-2^(n-1)

la successione ${lambda_n}_(n in NN)$ è una successione monotona decrescente e limitata inferiormenteperchè?

in genere il sup è monotono ovvero se $AsubsetB$ allora $s u pA leq s u pB$ e se noti gli insiemi

$A_k={x_n : n>k}$

formano una successione decrescente di insiemi e quindi una successione decrescente di estremi superiori

Inoltre è inferiormente limitata perché essendo tutta la successione a sua volta limitata tutti quei sup considerati stanno sopra l'estremo inferiore della successione che è finito per limitatezza.

nota: se studi il concetto di limite superiore e inferiore di una successione questa dimostrazione ti appare ancora più ricca di freschezza

tornando alla successione abbiamo che essendo ${lambda_n}_(n in NN)$ monotona e limitata deve convergere in $RR$ e poniamo $lambda=lim_(n->+infty)lambda_n$

passando a limite la disequazione si osserva che $2^(n-1)->0$ quindi

$lambdaleqlim_(n->+infty)x_(k_n)leqlambda => x_(k_n)->lambda$

questa è una sottosuccessione di ${x_n}$ ed è convergente in $RR$, quindi abbiamo finito.

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[JustBreathe1]

"anto_zoolander":Partiamo dalle conseguenze dell'essere chiuso e limitato

Super anto_zoolander.
Grazie mille.
Sei stato chiarissimo, ma mi manca qualcosa che mi è chiaro dal punto di vista pratico (grazie al tuo esempio), ma non dal punto di vista teorico.


Se prendo un insieme $D$ limitato ma aperto, cosa cambierebbe?
Potrei trovare una successione a valori in $D$, di cui una delle sue sottosuccessioni non convergerebbe ad un valore di $D$ (da cui segue $D$ non compatto).
Come mai accade ciò?

[anto_zoolander]

Diciamo che il motivo di questo risiede proprio nella definizione di limite; per come è stato definito un limite è necessario che una successione a valori in un sottoinsieme, se converge, converge nella chiusura di tale sottoinsieme e se ci pensi ha senso perché non si può allontanare troppo

Qui devi avere ben chiaro cosa significa intorno perché il tutto dipende fortemente da questo!
Immagina di avere una successione ${x_n}$ a valori in qualche insieme $C$ e supponi che converga in $RR$

se il limite stesse proprio lontano dall'insieme, per esempio nel complementare della chiusura, tale complementare finirebbe proprio per essere un intorno del limite e pertanto definitivamente tutta la successione dovrebbe stare nel complementare cosa che genera un assurdo ogni volta che supponi che la successione stia in quell'insieme.

Quindi questo fatto è proprio intrinseco nella definizione di limite perché sfrutta la definizione di intorno ed essendo il complementare di un chiuso diverso da $RR$ un intorno di ogni suo punto(in quanto è aperto) ogni volta il limite di una successione cade in un insieme del genere deve contenere definitivamente tutti i termini di una successione.

Passiamo al pratico e prendiamo un insieme semplice tipo $(0,1)$

sappiamo che ogni successione a valori in $(0,1)$ deve convergere nella sua chiusura ossia in $[0,1]$ quindi quali possono essere i punti limite problematici?

sicuramente non quelli in $(0,1)$ perchè ci andrebbe benissimo! una successione a valori in un aperto può tranquillamente convergere o ammettere una sottosuccessione convergente nell'insieme stesso; prendi un punto e considera la successione che vale costantemente quel punto che è convergente!

il problema dei limiti di successioni sovviene quando andiamo a considerare i punti sul bordo di un'insieme che non sia chiuso perchè possono essere tranquillamente punti limite per ciò che abbiamo visto e infatti la successione

${1/2^(n+1)}_(n in NN)$

è interamente contenuta in $(0,1)$ e converge nella chiusura ossia converge a $0$ che sta in $[0,1]$

metto una piccola cosa in ot
[ot]Considera che cambiando la topologia può cambiare qualsiasi cosa, dipende fortemente da cosa sia un intorno per quella topologia. Non vorrei dire fesserie ma pensando ad un esempio nella topologia della semicontinuità superiore la successione di sopra converge a limiti come $10^20, 10^489128, e^5$ non a caso in questa topologia la chiusura di $(0,1)$ è $[0,+infty)$

dove la topologia è $tau_(scs)={(-infty,a), a in RR}cup{emptyset}cup{RR}$[/ot]

[JustBreathe1]

In soldoni:
come mai da un insieme aperto posso prendere una successione di cui una delle sue sottosuccessioni non converge ad un valore dell'insieme?

[anto_zoolander]

Te l'ho scritto più volte
perché i limiti di successioni stanno tutti nella chiusura di un insieme e quindi se un insieme non è chiuso può avere sottosuccessioni che convergono nella chiusura ma non nell'insieme

[dissonance]

da un insieme aperto posso prendere una successione di cui una delle sue sottosuccessioni non converge ad un valore dell'insieme?

Comunque, non è questione di "insieme aperto". Il problema è quando un insieme non è chiuso. Non essere chiuso è diverso dall'essere aperto.

[JustBreathe1]

"anto_zoolander":Te l'ho scritto più volte
perché i limiti di successioni stanno tutti nella chiusura di un insieme

Per mie lacune pregresse, ignoravo ciò.
Ora mi è tutto chiaro, grazie ancora.
Mi sei stato di grande aiuto!

[JustBreathe1]

"dissonance":

da un insieme aperto posso prendere una successione di cui una delle sue sottosuccessioni non converge ad un valore dell'insieme?

Comunque, non è questione di "insieme aperto". Il problema è quando un insieme non è chiuso. Non essere chiuso è diverso dall'essere aperto.

Precisazione necessaria, grazie