Iniettività di una funzione f: R^3 -> R^3
Buongiorno, ho un piccolo dubbio su un quesito che chiede:
Sia [tex]f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3[/tex] data da [tex]f(x,y,z) = \left(\sin{x}-2y+3z , \quad \int_{1}^{x} \ln{(\sqrt{2}+t^8)}\ dt, \quad \cos{x}+y-2z\right)[/tex].
Dire se:
Per l'invertibilità locale ho calcolato la Jacobiana di [tex]f[/tex] (risparmio i calcoli), ho notato che [tex]\det{J_f} = -\ln{(\sqrt{2} + x^8)}[/tex] che è un valore sempre negativo, in particolare sempre [tex]\neq 0[/tex]. Quindi per il teorema di invertibilità locale, la funzione [tex]f[/tex] è localmente invertibile in un intorno di qualunque punto di [tex]\mathbb{R}^3[/tex].
Per il secondo punto, a istinto ho scritto "falso" per la presenza di [tex]\sin[/tex] e [tex]\cos[/tex]. Poi però ho verificato più formalmente mediante la definizione di iniettività:
[tex]f(x_0,y_0,z_0) = f(x_1,y_1,z_1) \iff \begin{cases} x_0 = x_1 \\ y_0 = y_1 \\ z_0 = z_1 \end{cases}[/tex]
...e proprio qui mi è sorto un dubbio.
È abbastanza evidente che, prendendo per esempio la prima funzione [tex]f_1 = \sin{x}-2y+3z[/tex], si ha che la definizione di iniettività non è verificata, perché [tex]f(2k\pi\ x_0\ ,y_0,z_0) = f(x_0,y_0,z_0),\quad \forall k\in\mathbb{Z}[/tex].
Il mio dubbio è: devo considerare tutte le funzioni della [tex]f[/tex] contemporaneamente nella definizione di iniettività, cioè controllare se:
[tex]\begin{cases} f_1(x_0,y_0,z_0) = f_1(x_1,y_1,z_1) \\ f_1(x_0,y_0,z_0) = f_2(x_1,y_1,z_1) \\ f_1(x_0,y_0,z_0) = f_3(x_1,y_1,z_1) \end{cases} \iff \begin{cases} x_0 = x_1 \\ y_0 = y_1 \\ z_0 = z_1 \end{cases}[/tex]
o invece basta che una sola delle tre funzioni non sia iniettiva per rendere non iniettiva l'intera funzione?
Thanks in advance.
Sia [tex]f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3[/tex] data da [tex]f(x,y,z) = \left(\sin{x}-2y+3z , \quad \int_{1}^{x} \ln{(\sqrt{2}+t^8)}\ dt, \quad \cos{x}+y-2z\right)[/tex].
Dire se:
1) [tex]f[/tex] è localmente invertibile in un intorno di qualunque punto di [tex]\mathbb{R}^3[/tex].
2) [tex]f[/tex] è iniettiva.
[/list:u:1t3gqbux]
Per l'invertibilità locale ho calcolato la Jacobiana di [tex]f[/tex] (risparmio i calcoli), ho notato che [tex]\det{J_f} = -\ln{(\sqrt{2} + x^8)}[/tex] che è un valore sempre negativo, in particolare sempre [tex]\neq 0[/tex]. Quindi per il teorema di invertibilità locale, la funzione [tex]f[/tex] è localmente invertibile in un intorno di qualunque punto di [tex]\mathbb{R}^3[/tex].
Per il secondo punto, a istinto ho scritto "falso" per la presenza di [tex]\sin[/tex] e [tex]\cos[/tex]. Poi però ho verificato più formalmente mediante la definizione di iniettività:
[tex]f(x_0,y_0,z_0) = f(x_1,y_1,z_1) \iff \begin{cases} x_0 = x_1 \\ y_0 = y_1 \\ z_0 = z_1 \end{cases}[/tex]
...e proprio qui mi è sorto un dubbio.
È abbastanza evidente che, prendendo per esempio la prima funzione [tex]f_1 = \sin{x}-2y+3z[/tex], si ha che la definizione di iniettività non è verificata, perché [tex]f(2k\pi\ x_0\ ,y_0,z_0) = f(x_0,y_0,z_0),\quad \forall k\in\mathbb{Z}[/tex].
Il mio dubbio è: devo considerare tutte le funzioni della [tex]f[/tex] contemporaneamente nella definizione di iniettività, cioè controllare se:
[tex]\begin{cases} f_1(x_0,y_0,z_0) = f_1(x_1,y_1,z_1) \\ f_1(x_0,y_0,z_0) = f_2(x_1,y_1,z_1) \\ f_1(x_0,y_0,z_0) = f_3(x_1,y_1,z_1) \end{cases} \iff \begin{cases} x_0 = x_1 \\ y_0 = y_1 \\ z_0 = z_1 \end{cases}[/tex]
o invece basta che una sola delle tre funzioni non sia iniettiva per rendere non iniettiva l'intera funzione?
Thanks in advance.
Risposte
"Polcio":
Il mio dubbio è: devo considerare tutte le funzioni della [tex]f[/tex] contemporaneamente nella definizione di iniettività, cioè controllare se:
[tex]\begin{cases} f_1(x_0,y_0,z_0) = f_1(x_1,y_1,z_1) \\ f_1(x_0,y_0,z_0) = f_2(x_1,y_1,z_1) \\ f_1(x_0,y_0,z_0) = f_3(x_1,y_1,z_1) \end{cases} \iff \begin{cases} x_0 = x_1 \\ y_0 = y_1 \\ z_0 = z_1 \end{cases}[/tex]
Esatto, $f$ è iniettiva se è vero quello che hai scritto qua. In effetti, se una delle $f_i$ è iniettiva, allora lo è anche $f$. Nel tuo caso mi pare proprio che $f_2$ sia iniettiva, perchè l'integranda è una funzione sempre positiva.
Grazie mille, effettivamente ho provato e torna tutto.
Io per [tex]f_2[/tex] ho ragionato così: [tex]\ln{(\sqrt{2} + x^8)}[/tex] è simmetrica rispetto all'origine ed è sempre positiva, inoltre è strettamente crescente, quindi perché [tex]\int_{1}^{x_0} \ln{(\sqrt{2} + t^8)}\ dt[/tex] sia uguale a [tex]\int_{1}^{x_1} \ln{(\sqrt{2} + t^8)}\ dt[/tex], per forza gli estremi destri di integrazione devono essere uguali, cioè [tex]x_0 = x_1[/tex].
Non avevo mai visto questa proprietà prima di oggi, è interessantissima! Quindi integranda positiva [tex]\implies[/tex] funzione integrale iniettiva? Ora sono curioso, in base a cosa accade questo? Ha un nome questa proprietà? (magari è una proprietà banalissima e sono io ad essere fuso)
Io per [tex]f_2[/tex] ho ragionato così: [tex]\ln{(\sqrt{2} + x^8)}[/tex] è simmetrica rispetto all'origine ed è sempre positiva, inoltre è strettamente crescente, quindi perché [tex]\int_{1}^{x_0} \ln{(\sqrt{2} + t^8)}\ dt[/tex] sia uguale a [tex]\int_{1}^{x_1} \ln{(\sqrt{2} + t^8)}\ dt[/tex], per forza gli estremi destri di integrazione devono essere uguali, cioè [tex]x_0 = x_1[/tex].
Nel tuo caso mi pare proprio che [tex]f_2[/tex] sia iniettiva, perchè l'integranda è una funzione sempre positiva.
Non avevo mai visto questa proprietà prima di oggi, è interessantissima! Quindi integranda positiva [tex]\implies[/tex] funzione integrale iniettiva? Ora sono curioso, in base a cosa accade questo? Ha un nome questa proprietà? (magari è una proprietà banalissima e sono io ad essere fuso)
"Polcio":
Non avevo mai visto questa proprietà prima di oggi, è interessantissima!
Segue dal teorema fondamentale del calcolo integrale, nelle sue ipotesi la derivata di una funzione integrale del tipo
$$\int_a^{x} f(t) \text{d}t$$
è la funzione integranda valutata in $x$.
Ah... sono davvero fuso, non mi era nemmeno passato per la mente. Grazie ancora!
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