Inf/sup di una funzione di 2 variabili
Ciao a tutti! Ho dei problemi con il seguente:
"Determinare estremo inferiore/superiore della funzione $f(x,y)=(x^3y)/(1+x^4+y^4)$ al variare di $(x,y) in RR^2$, precisando se si tratta, rispettivamente, di minimo/massimo"
In queste tipologie di esercizi come posso ragionare?
A me, ad esempio, l'unica cosa "furba" che è venuta in mente di fare è osservare che $f(x,-y)=f(-x,y)=-f(x,y)$, dunque l'estremo inferiore è uguale all'estremo superiore cambiato di segno e posso studiare il problema con $x>0,y>0$
"Determinare estremo inferiore/superiore della funzione $f(x,y)=(x^3y)/(1+x^4+y^4)$ al variare di $(x,y) in RR^2$, precisando se si tratta, rispettivamente, di minimo/massimo"
In queste tipologie di esercizi come posso ragionare?
A me, ad esempio, l'unica cosa "furba" che è venuta in mente di fare è osservare che $f(x,-y)=f(-x,y)=-f(x,y)$, dunque l'estremo inferiore è uguale all'estremo superiore cambiato di segno e posso studiare il problema con $x>0,y>0$
Risposte
Bene, continua così... C'è da fare uno studio di funzione nel primo quadrante chiuso.
Beh io all'inizio volevo ragionare calcolando il limite a più infinito. Poi mi sono bloccato perché quest'ultimo non esiste; infatti è diverso se lo calcolo sulle varie rette uscenti dall'origine $(t,mt)$ (dovrebbe risultare $m/(1+m^4)$)
E tra questi possibili limiti $l(m):= m/(1+m^4)$ qual è il maggiore?
Cosa succede lungo gli assi?
Cosa succede lungo gli assi?
Lungo gli assi la $f(x,y)$ è identicamente nulla (o sbaglio??)
Invece studiando la funzione $l(m)$ scopro che ha massimo uguale a $(root(4)(27))/4$(conti permettendo xD)
Invece studiando la funzione $l(m)$ scopro che ha massimo uguale a $(root(4)(27))/4$(conti permettendo xD)
Non mi torna, ricontrolla.
Poi, guarda se ci sono massimi o minimi interni al quadrante, studiando l'annullarsi del gradiente e l'hessiano.
*** EDIT: No, mi torna, invece...
Hai razionalizzato.
Poi, guarda se ci sono massimi o minimi interni al quadrante, studiando l'annullarsi del gradiente e l'hessiano.
*** EDIT: No, mi torna, invece...
Hai razionalizzato.
Ok quindi il conto di sopra è giusto mentre punti stazionari interni al quadrante non dovrebbero esserci
Ok.
Quindi ti sei fatto dell'idea che $min f = 0$ e $"sup " f = root(4)(27)/4$... Ora dimostralo.
Quindi ti sei fatto dell'idea che $min f = 0$ e $"sup " f = root(4)(27)/4$... Ora dimostralo.
Allora vediamo se ci siamo cosi:
Dato che la funzione è nulla sulle restrizioni agli assi e non ci sono punti stazionari interni al primo quadrante, studio il sup sulle rette uscenti dall'origine. Il sup sul 1 quadrante è il sup dei sup sulle varie rette.
Si vede abbastanza facilmente che $f(t,mt)=(mt^4)/(1+(1+m^4)*t^4)$ è monotona nella variabile t, quindi il sup è assunto all'infinito e vale $m/(1+m^4)$
Non mi sembra tanto formale, però, come ragionamento quello di ragionare con le rette(anche nei conti fatti prima).
Come quando si fanno i limiti, non mi fido molto delle rette
Dato che la funzione è nulla sulle restrizioni agli assi e non ci sono punti stazionari interni al primo quadrante, studio il sup sulle rette uscenti dall'origine. Il sup sul 1 quadrante è il sup dei sup sulle varie rette.
Si vede abbastanza facilmente che $f(t,mt)=(mt^4)/(1+(1+m^4)*t^4)$ è monotona nella variabile t, quindi il sup è assunto all'infinito e vale $m/(1+m^4)$
Non mi sembra tanto formale, però, come ragionamento quello di ragionare con le rette(anche nei conti fatti prima).
Come quando si fanno i limiti, non mi fido molto delle rette
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