Info su limite
Salve a tutti, avrei una domanda.
L'altro giorno l'assistente di laboratorio ha tenuto un'esercitazione di analisi e abbiamo risolto qualche limite.
Ad un certo punto scrive che:
$ (1+x)^(a)=1+ax+o(x) $
ciò significa che io un esercizio tipo:
$ lim_(x -> oo ) logsqrt(x+1) / x $
Posso risolverlo così...?
$ lim_(x -> oo ) logsqrt(x+1) / x = lim_(x-> oo)log[sqrt(x)(1+1/x)^(1/2)]=lim_(x-> oo)log[sqrt(x)(1+1/(2x))] $
Che si comporta come...
$ lim_(x-> oo)1/2log(x)/(x)=0 $
E' esatto il mio procedimento?
Penso che l'assistente di laboratorio con questo metodo ha anticipato Taylor (ma non l'abbiamo ancora studiato!)
Qualcuno sa dirmi di più? E' corretto? Se corretto, posso risolvere tutti questi tipo di limite con questo metodo? Funziona sempre?
Scusate le imprecisioni ma è che non ho le idee molto chiare. Se qualcuno può aiutarmi gli sarei grato!
L'altro giorno l'assistente di laboratorio ha tenuto un'esercitazione di analisi e abbiamo risolto qualche limite.
Ad un certo punto scrive che:
$ (1+x)^(a)=1+ax+o(x) $
ciò significa che io un esercizio tipo:
$ lim_(x -> oo ) logsqrt(x+1) / x $
Posso risolverlo così...?
$ lim_(x -> oo ) logsqrt(x+1) / x = lim_(x-> oo)log[sqrt(x)(1+1/x)^(1/2)]=lim_(x-> oo)log[sqrt(x)(1+1/(2x))] $
Che si comporta come...
$ lim_(x-> oo)1/2log(x)/(x)=0 $
E' esatto il mio procedimento?
Penso che l'assistente di laboratorio con questo metodo ha anticipato Taylor (ma non l'abbiamo ancora studiato!)
Qualcuno sa dirmi di più? E' corretto? Se corretto, posso risolvere tutti questi tipo di limite con questo metodo? Funziona sempre?
Scusate le imprecisioni ma è che non ho le idee molto chiare. Se qualcuno può aiutarmi gli sarei grato!
Risposte
Attenzione: nel tuo esercizio $x \to +\infty$, mentre la formula di Taylor $(1+x)^a=1+ax+o(x)$ è applicabile solo se $x \to 0$.
"Luca.Lussardi":
Attenzione: nel tuo esercizio $x \to +\infty$, mentre la formula di Taylor $(1+x)^a=1+ax+o(x)$ è applicabile solo se $x \to 0$.
Perchè allora l'assistente di laboratorio ha svolto questo limite in questo modo?
Riporto proprio il testo e il suo svolgimento:
$ lim_(n-> oo)sqrt(n+2)-sqrt(n-1)=lim_(n-> oo)sqrt(n)(1+2/n)^(1/2)-sqrt(n)(1-1/n)^(1/2)=lim_(n-> oo)sqrt(n)[(1+(1/2)(2/n)+o(n))-(1-(1/2)(1/n)+o(n))]=lim_(n-> oo)sqrt(n)[(1+1/n)-(1-1/(2n))]=lim_(n-> oo)sqrt(n)(3/(2n))=3/2lim_(n-> oo)sqrt(n)/n=0 $
Qual'è il metodo? Io avrei semplicemente razionalizzato, ma lui ha detto che è meglio se iniziamo a risolverli così questi limiti, perchè è un metodo ottimale.
Sì, è corretto, anche per il tuo originale, non avevo visto che avevi applicato la formula di Taylor con $1/x$ in luogo di $x$. Non capisco però la $x$ al denominatore dove sia finita...
"Luca.Lussardi":
Sì, è corretto, anche per il tuo originale, non avevo visto che avevi applicato la formula di Taylor con $1/x$ in luogo di $x$. Non capisco però la $x$ al denominatore dove sia finita...
Si, ha ragione, ho fatto un errore di trascrizione formula e me la sono persa.
Quindi, da quello che ho capito...
$ per x-> oo: (1+1/x)^a = 1+a(1/x)+o(x) $
mentre:
$ per x-> 0: (1+x)^a = 1+ax+o(x $
Esatto?
Però, se dopo vado a risolvere questo esercizio:
$ lim_(x-> 0) log sqrt(1+x)/x = lim_(x-> 0)log(1+1/2x)/x $
risulta sempre la forma indeterminata 0/0. Dov'è il problema?
...per $x \to +\infty$.... $+o(1/x)$.
Giusto; più in generale, se hai $\varepsilon(x) \to 0$ per $x \to x_0$, allora $\lim_{x \to x_0} (1+\varepsilon(x))^{\alpha} = 1 +\alpha \varepsilon(x) +o(\varepsilon(x))$. Ciò significa che se per un certo valore una quantità diventa infinitesima, puoi applicare quello sviluppo asintotico.
"Riscica":
Però, se dopo vado a risolvere questo esercizio:
$ lim_(x-> 0) log sqrt(1+x)/x = lim_(x-> 0)log(1+1/2x)/x $
risulta sempre la forma indeterminata 0/0. Dov'è il problema?
Non c'è problema! Solo che quello sviluppo asintotico non è sufficiente ancora per risolvere l'indeterminazione; prova ad applicare ora una proprietà dei logaritmi.
Ma aldilà di tutto, questo limite potevo risolverlo anche:
$ lim_(x-> o) (1/2)log(1+x)/x = 1/2 $ (limite notevole).
Il problema è che non capisco perchè se invece procedo in quest'altro modo mi impallo...
$ lim_(x-> o) log(1+1/2x)/x = ?? $
$ lim_(x-> o) (1/2)log(1+x)/x = 1/2 $ (limite notevole).
Il problema è che non capisco perchè se invece procedo in quest'altro modo mi impallo...
$ lim_(x-> o) log(1+1/2x)/x = ?? $
Ma aldilà di tutto, questo limite potevo risolverlo anche:
$ lim_(x-> o) (1/2)log(1+x)/x = 1/2 $ (limite notevole).
Il problema è che non capisco perchè se invece procedo in quest'altro modo mi impallo...
$ lim_(x-> o) log(1+1/2x)/x = ?? $
$ lim_(x-> o) (1/2)log(1+x)/x = 1/2 $ (limite notevole).
Il problema è che non capisco perchè se invece procedo in quest'altro modo mi impallo...
$ lim_(x-> o) log(1+1/2x)/x = ?? $
Certo, anche il limite notevole va benissimo.
Ti impalli perché non vuoi andare avanti! Non sai cosa fare? Ti ho detto che c'è una proprietà dei logaritmi da applicare, che ti riconduce ad un altro limite notevole.
Ti impalli perché non vuoi andare avanti! Non sai cosa fare? Ti ho detto che c'è una proprietà dei logaritmi da applicare, che ti riconduce ad un altro limite notevole.
l'unica cosa che mi viene in mente di fare è questa:
$ log(1+1/2x)/x=log((2+x)/2)/x=(log(2+x)-log2)/x $
ma non penso che mi migliori le cose!
$ log(1+1/2x)/x=log((2+x)/2)/x=(log(2+x)-log2)/x $
ma non penso che mi migliori le cose!
[tex]\frac {log (1 + \frac {1} {2} x) } {x} = \frac {1} {x} log ( 1 + \frac {1} {2} x) = ..?[/tex]
$ lim_(x-> 0)log(1+x/2)/x=lim_(x-> 0)1/2log(1+x/2)/(x/2)=1/2 $
[tex]\frac {\log (1 + \frac {1} {2} x) } {x} = \frac {1} {x} \log (1 + \frac {1} {2} x) = \log (1 + \frac {1} {2} x)^{ \frac {1} {x}}.[/tex]
[tex]\displaystyle \lim_{x \to 0} \log (1 + \frac {1} {2} x)^{ \frac {1} {x}} = \log \, e^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}[/tex]
Io stavo cercando di suggerirti questo, ma anche la tua soluzione va bene, ovviamente
[tex]\displaystyle \lim_{x \to 0} \log (1 + \frac {1} {2} x)^{ \frac {1} {x}} = \log \, e^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2}[/tex]
Io stavo cercando di suggerirti questo, ma anche la tua soluzione va bene, ovviamente
Grazie, sei stato gentilissimo. Scusa se ti ho fatto perdere tempo.
E chi l'ha detto?? Bazzico da queste parti proprio per aiutare chi ha bisogno
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