Info semplificazione variabili integrali impropri
Ciao a tutti.
volevo chiedervi quali sono i criteri per poter semplificare le variabili a numeratore e a denominatore di un integrale improprio.
Mi è capitato a un esame di effettuare una semplificazione che poi mi ha portato alla bocciatura, anche se l'integrale indefinito si risolveva tranne che agli estremi di integrazione.
ecco l'integrale di partenza(definito tra 0 e $(+oo)$ e dove sono arrivato
http://tinypic.com/view.php?pic=156pi4z&s=6
il prof mi ha dato del pazzo nel fare questa semplificazione non fornendomi neanche una spiegazione sul perchè non si possa fare.
Ora, nel caso di questo integrale: $\int_0^\(+oo) sqrt(1-e^(-4x))/(Senh(2x))dx$ che si semplifica fino ad arrivare a: $\int_0^\(+oo) 2*e^(-2x)/sqrt(1-e^(-4x))dx$
(ecco il link su dove vederlo: http://www.matematicamente.it/forum/help-integrale-t102583.html)
sostituendo$e^(-2x)$ con t ed effettuando i vari passaggi otteniamo: $\int_1^\0-t/sqrt(1-t^(2))tdt$ che, integrata, corrisponde a $arcsen(x)$.
La mia domanda è: Perchè nel primo caso non si può semplificare mentre nel secondo si? quando si può e quando non si può effettuare una semplificazione?
Qualche idea ce l'ho, ma vorrei dei chiarimenti.
Grazie per il vostro aiuto.
Attendo vostre notizie.
Ciao
volevo chiedervi quali sono i criteri per poter semplificare le variabili a numeratore e a denominatore di un integrale improprio.
Mi è capitato a un esame di effettuare una semplificazione che poi mi ha portato alla bocciatura, anche se l'integrale indefinito si risolveva tranne che agli estremi di integrazione.
ecco l'integrale di partenza(definito tra 0 e $(+oo)$ e dove sono arrivato
http://tinypic.com/view.php?pic=156pi4z&s=6
il prof mi ha dato del pazzo nel fare questa semplificazione non fornendomi neanche una spiegazione sul perchè non si possa fare.
Ora, nel caso di questo integrale: $\int_0^\(+oo) sqrt(1-e^(-4x))/(Senh(2x))dx$ che si semplifica fino ad arrivare a: $\int_0^\(+oo) 2*e^(-2x)/sqrt(1-e^(-4x))dx$
(ecco il link su dove vederlo: http://www.matematicamente.it/forum/help-integrale-t102583.html)
sostituendo$e^(-2x)$ con t ed effettuando i vari passaggi otteniamo: $\int_1^\0-t/sqrt(1-t^(2))tdt$ che, integrata, corrisponde a $arcsen(x)$.
La mia domanda è: Perchè nel primo caso non si può semplificare mentre nel secondo si? quando si può e quando non si può effettuare una semplificazione?
Qualche idea ce l'ho, ma vorrei dei chiarimenti.
Grazie per il vostro aiuto.
Attendo vostre notizie.
Ciao
Risposte
Help!
Qualche chiarimento?
Ammesso che l'integrale sia:
\[
\int_0^\infty \frac{\log (1+x^2)}{x^{5/2}}\ \text{d} x\; ,
\]
i passaggi non sembrano formalmente sbagliati (ovviamente, va da se che il termine logaritmico che salta fuori dall'integrale per parti non può scomparire da un passaggio ad un altro).
Probabilmente ci sarà stato qualcosa che hai scritto/detto (o che non hai scritto/detto) che non ha convinto il docente.
P.S.: Ovviemente, quell'integrale improprio esiste finito.
P.P.S.: La prossima volta, cerca di evitare UP prima che siano passate 24 ore.
\[
\int_0^\infty \frac{\log (1+x^2)}{x^{5/2}}\ \text{d} x\; ,
\]
i passaggi non sembrano formalmente sbagliati (ovviamente, va da se che il termine logaritmico che salta fuori dall'integrale per parti non può scomparire da un passaggio ad un altro).
Probabilmente ci sarà stato qualcosa che hai scritto/detto (o che non hai scritto/detto) che non ha convinto il docente.
P.S.: Ovviemente, quell'integrale improprio esiste finito.
P.P.S.: La prossima volta, cerca di evitare UP prima che siano passate 24 ore.
il prof mi ha detto che la semplificazione non si può fare.
Utilizzando il programma, anche lui non effettua la semplificazione.
in pratica risolve il secondo integrale per sostituzione sostituendo la $x^(3/2)$.
se si effettua la semplificazione come avevo fatto io, si risolve l'integrale indefinito ma quando vai a calcolare i limiti non si arriva al risultato.
Sul fatto della semplificazione un mio amico mi ha detto che (forse) non si può fare perché eliminerei una forma indeterminata o, comunque una cosa del genere.
Vi risulta come motivazione?
Utilizzando il programma, anche lui non effettua la semplificazione.
in pratica risolve il secondo integrale per sostituzione sostituendo la $x^(3/2)$.
se si effettua la semplificazione come avevo fatto io, si risolve l'integrale indefinito ma quando vai a calcolare i limiti non si arriva al risultato.
Sul fatto della semplificazione un mio amico mi ha detto che (forse) non si può fare perché eliminerei una forma indeterminata o, comunque una cosa del genere.
Vi risulta come motivazione?
"cecca":
il prof mi ha detto che la semplificazione non si può fare.
Utilizzando il programma, anche lui non effettua la semplificazione.
in pratica risolve il secondo integrale per sostituzione sostituendo la $x^(3/2)$.
se si effettua la semplificazione come avevo fatto io, si risolve l'integrale indefinito ma quando vai a calcolare i limiti non si arriva al risultato.
Sul fatto della semplificazione un mio amico mi ha detto che (forse) non si può fare perché eliminerei una forma indeterminata o, comunque una cosa del genere.
Vi risulta come motivazione?
Ciao!
Non so bene come risponderti, ma sto seguendo la discussione anche io perché ho un esame su queste cose... comunque volevo dire: ma scusa, quando fai i limiti e trovi le forme indeterminate, anche lì si procede per semplificazione!! Cioè, se io per dire ho (esempio a caso, prendo un pezzo della tua integranda) $lim_(x->+infty) {2x}/{xsqrt(x)}$ allora come vado avanti, se non posso semplificare?? E' ovvio che sia il denominatore che il numeratore tendono a $+infty$ (e da qui appunto la forma indeterminata $infty/infty$ ) ma non è anche vero che per qualsiasi x (finito) nell'intorno di $+infty$ si può fare la semplificazione...? almeno, io i limiti li ho sempre fatti così!
Il tuo prof non ti ha proprio detto nient'altro?
il prof si è arrabbiato e mi ha detto di andare a chiedere spiegazioni alla prof delle elementari.
Sto notando una cosa.
Se nelle semplificazioni dei due esercizi sostituisci gli estremi di integrazione(calcolo il limite delle semplificazioni) nel primo esercizio(a=0 e b=$+00$) a denominatore otteniamo la forma indeterminata $0*oo$ mentre nel secondo esercizio otteniamo $0$ entrambi per $x->+oo$.
Se invece effettui il limite a $+oo$ del primo integrale senza semplificarlo, ne ottieni la convergenza.
Quindi nel primo integrale non otteniamo più la convergenza del limite, mentre nel secondo si.
Una possibile spiegazione potrebbe essere questa.
Che ne dite?
Sto notando una cosa.
Se nelle semplificazioni dei due esercizi sostituisci gli estremi di integrazione(calcolo il limite delle semplificazioni) nel primo esercizio(a=0 e b=$+00$) a denominatore otteniamo la forma indeterminata $0*oo$ mentre nel secondo esercizio otteniamo $0$ entrambi per $x->+oo$.
Se invece effettui il limite a $+oo$ del primo integrale senza semplificarlo, ne ottieni la convergenza.
Quindi nel primo integrale non otteniamo più la convergenza del limite, mentre nel secondo si.
Una possibile spiegazione potrebbe essere questa.
Che ne dite?
Mah... A rigor di logica, uno ha:
\[
\int_0^\infty \frac{\ln (1+x^2)}{x^{5/2}}\ \text{d} x = \lim_{r\to 0^+,\ R\to +\infty} \int_r^R \frac{\ln (1+x^2)}{x^{5/2}}\ \text{d} x
\]
quindi \(x\in [r,R]\) con \(00\)), arrivando a:
\[
\begin{split}
\int_r^R \frac{\ln (1+x^2)}{x^{5/2}}\ \text{d} x &= \frac{2}{3} \left( \frac{\ln (1+r^2)}{r^{3/2}} - \frac{\ln (1+R^2)}{R^{3/2}}\right) + \frac{4}{3} \int_r^R \frac{1}{\sqrt{x}\ (1+x^2)}\ \text{d} x\\
& \stackrel{t=\sqrt{x}}{=} \frac{2}{3} \left( \frac{\ln (1+r^2)}{r^{3/2}} - \frac{\ln (1+R^2)}{R^{3/2}}\right) + \frac{8}{3} \int_{\sqrt{r}}^{\sqrt{R}} \frac{1}{1+t^4}\ \text{d} t\\
&= \frac{2}{3} \left( \frac{\ln (1+r^2)}{r^{3/2}} - \frac{\ln (1+R^2)}{R^{3/2}}\right) + \frac{8}{3} \int_{\sqrt{r}}^{\sqrt{R}} \frac{1}{(1+2t^2 +t^4)-2t^2}\ \text{d} t\\
&=\frac{2}{3} \left( \frac{\ln (1+r^2)}{r^{3/2}} - \frac{\ln (1+R^2)}{R^{3/2}}\right) + \frac{8}{3} \int_{\sqrt{r}}^{\sqrt{R}} \frac{1}{(t^2+\sqrt{2}\ t+1)(t^2 -\sqrt{2}\ t+1)}\ \text{d} t
\end{split}
\]
e l'ultimo integrale si calcola in fratti semplici (viene fuori il logaritmo di un rapporto più un paio di arcotangenti).
Poi, ovviamente, si passa al limite ed il gioco è fatto.
\[
\int_0^\infty \frac{\ln (1+x^2)}{x^{5/2}}\ \text{d} x = \lim_{r\to 0^+,\ R\to +\infty} \int_r^R \frac{\ln (1+x^2)}{x^{5/2}}\ \text{d} x
\]
quindi \(x\in [r,R]\) con \(0
\[
\begin{split}
\int_r^R \frac{\ln (1+x^2)}{x^{5/2}}\ \text{d} x &= \frac{2}{3} \left( \frac{\ln (1+r^2)}{r^{3/2}} - \frac{\ln (1+R^2)}{R^{3/2}}\right) + \frac{4}{3} \int_r^R \frac{1}{\sqrt{x}\ (1+x^2)}\ \text{d} x\\
& \stackrel{t=\sqrt{x}}{=} \frac{2}{3} \left( \frac{\ln (1+r^2)}{r^{3/2}} - \frac{\ln (1+R^2)}{R^{3/2}}\right) + \frac{8}{3} \int_{\sqrt{r}}^{\sqrt{R}} \frac{1}{1+t^4}\ \text{d} t\\
&= \frac{2}{3} \left( \frac{\ln (1+r^2)}{r^{3/2}} - \frac{\ln (1+R^2)}{R^{3/2}}\right) + \frac{8}{3} \int_{\sqrt{r}}^{\sqrt{R}} \frac{1}{(1+2t^2 +t^4)-2t^2}\ \text{d} t\\
&=\frac{2}{3} \left( \frac{\ln (1+r^2)}{r^{3/2}} - \frac{\ln (1+R^2)}{R^{3/2}}\right) + \frac{8}{3} \int_{\sqrt{r}}^{\sqrt{R}} \frac{1}{(t^2+\sqrt{2}\ t+1)(t^2 -\sqrt{2}\ t+1)}\ \text{d} t
\end{split}
\]
e l'ultimo integrale si calcola in fratti semplici (viene fuori il logaritmo di un rapporto più un paio di arcotangenti).
Poi, ovviamente, si passa al limite ed il gioco è fatto.
io invece l'integrale l'avevo calcolato per parti anziché fare la sostituzione.
Per parti come?
se non ricordo male $1/sqrt(x)$ e $1/(1+x^2)$.
Mmmm, non mi convince... Scrivi un po' i passaggi, va'.
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