Inf-Sup equazione differenziale
Ciao a tutti ,vorrei capire come ragionare con questo esercizio
Inf,Sup,Max,Min dell'insieme:
$ A={K in R: $ La soluzione di $ y'(x)=ky(x) , y(0)=1 $ é limitata per $ x in [0,+oo] } $
Quello che ho capito é che dovrei trovare le y ,al variare di k,ma in quel caso non avrei più grafici??
Come posso rosolverlo??non so bene come raggionarci
Grazie
Inf,Sup,Max,Min dell'insieme:
$ A={K in R: $ La soluzione di $ y'(x)=ky(x) , y(0)=1 $ é limitata per $ x in [0,+oo] } $
Quello che ho capito é che dovrei trovare le y ,al variare di k,ma in quel caso non avrei più grafici??
Come posso rosolverlo??non so bene come raggionarci
Grazie
Risposte
Quello che vuoi conoscere sono gli estremi di un insieme \(A\) i cui elementi sono i parametri \(k\) in un problema di Cauchy.
Dato che il P.d.C. è risolvibile "a mano" per ogni fissato \(k\in \mathbb{R}\) e che, detta \(y(x;k)\) la soluzione del P.d.C. corrispondente a \(k\), la condizione \(y(x;k) \text{ è limitata in } [0,\infty[\) è pure verificabile "a mano", non dovresti avere problemi a dire esplicitamente chi è l'insieme \(A\).
Prova un po' e facci sapere.
Dato che il P.d.C. è risolvibile "a mano" per ogni fissato \(k\in \mathbb{R}\) e che, detta \(y(x;k)\) la soluzione del P.d.C. corrispondente a \(k\), la condizione \(y(x;k) \text{ è limitata in } [0,\infty[\) è pure verificabile "a mano", non dovresti avere problemi a dire esplicitamente chi è l'insieme \(A\).
Prova un po' e facci sapere.
Allora mi ricavo la soluzione in k
$ y(x) = c_1 e^(k x) $ con cauchy $ y(0)=1 $ ottengo $ c_1 =1 $ --> $ e^(k x) $.Ho un intervallo x limitato tra $[0,+00[$..
Non capisco bene se devo trovare i valori di k sull'asse y ,da $[0,+00[$ delle x...
Non so bene come lavorarci
$ y(x) = c_1 e^(k x) $ con cauchy $ y(0)=1 $ ottengo $ c_1 =1 $ --> $ e^(k x) $.Ho un intervallo x limitato tra $[0,+00[$..
Non capisco bene se devo trovare i valori di k sull'asse y ,da $[0,+00[$ delle x...
Non so bene come lavorarci
Per quali valori di \(k\) la funzione \(y(\cdot ;k):[0,\infty[\ni x\mapsto e^{kx}\in \mathbb{R}\) è limitata superiormente?
Pensa un po' al grafico di questa funzione, fai un disegnino di massima...
Pensa un po' al grafico di questa funzione, fai un disegnino di massima...
Vediamo ..
per
$x->oo$-->oo
$x->0$-->1
$x->-oo$--->0
Valido per $k>=0$
Per $k<0$
Avrei una situazione opposta..
$x->oo$-->0
$x->0$-->1
$x->-oo$--->00
per
$x->oo$-->oo
$x->0$-->1
$x->-oo$--->0
Valido per $k>=0$
Per $k<0$
Avrei una situazione opposta..
$x->oo$-->0
$x->0$-->1
$x->-oo$--->00
Quindi...
"gugo82":
Quindi...
Beh ho due situazioni diverse agli estremi
Solo che io avrei dato
Max=$N.E$
Min=$0$
Inf=$0$
Sup=$+oo$
"Gianni91":
[quote="gugo82"]Quindi...
Beh ho due situazioni diverse agli estremi
Solo che io avrei dato
Max=$N.E$
Min=$0$
Inf=$0$
Sup=$+oo$[/quote]
Sbagliato.
Infatti, per quel che hai detto prima, hai certamente:
\[
k\in A\quad \Leftrightarrow \quad k\leq 0\; ,
\]
ossia \(A=]-\infty, 0]\).
scusami non capisco xchè consideriamo solo i $k<=0$..??
La risposta te la sei data qui:
Rileggi con attenzione il testo dell'esercizio.
"Gianni91":
Vediamo ..
per
$x->oo$-->oo
$x->0$-->1
$x->-oo$--->0
Valido per $k>=0$
Per $k<0$
Avrei una situazione opposta..
$x->oo$-->0
$x->0$-->1
$x->-oo$--->00
Rileggi con attenzione il testo dell'esercizio.
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