Induzione seconda disuguaglianza Bernoulli

[baudus]

Non riesco a dimostrare per induzione la seconda disuguaglianza di Bernoulli (1+x)^n < q1/(1-nx) per le X comprese tra -1 e p0 estremi esclusi.
Una volta dimostrato che la relazione vale per n=0 e sostituito n con n+1 mi blocco.
Qualcuno potrebbe aiutarmi?

[Emar1]

Innanzi tutto ti invito a rispettare il regolamento formattando le formule opportunamente.

Prova a scrivere i passaggio su cui ti blocchi che qualcuno ti aiuterà.

[baudus]

$ (1+x)^n<=1/(1-nx) $
$ (1+x)^(n+1)<=1/(1-(n+1)x) $
Mi servirebbe l'imput per iniziare la dimostrazione

[Emar1]

Ti butto due hint a caso. Potresti raccogliere \((1+x)\) nella seconda equazione da entrambi i lati e vedere che succede. Oppure potresti espandere la potenza con la formula del binomio di Newton e ragionare con le sommatorie.
Ricorda che devi dimostrare \(p(n) \implies p(n+1)\) e che quindi assumi \(p(n)\) vera.

[baudus]

Grazie mille Emar per la risposta. Non riesco a capire come faccio a raccogliere 1+x al secondo membro.
Diventerebbe $ (1+x)^n (1+x) <= 1/(1-nx-x) $
E poi come raccolgo?

[Emar1]

Sono abbastanza scarso con le dimostrazioni, ma ci provo. Per ipotesi:
\[(1+x)^{(n+1)} = (1+x)^n (1+x) \le \frac{1+x}{1-nx}\]
Avendo posto $1+x \ge 0$. Ci basta dimostrare che:
\[\frac{1+x}{1-nx} \le \frac{1}{1 - (n+1)x}\]
per concludere. Quindi
\[\frac{1+x}{1-nx} \overset{?}{\le} \frac{1}{1 - (n+1)x} = \frac{1}{(1 - (n+1)x)} \cdot \frac{1+x}{1+x} = \frac{1 + x}{1 - nx -x^2(n + 1)} \]
Dato che sicuramente:
\[1-nx \ge 1-nx - x^2(n+1)\]
abbiamo la nostra tesi:
\[(1+x)^{(n+1)} \le \frac{1+x}{1-nx} \le \frac{1 + x}{1 - nx -x^2(n + 1)} = \frac{1}{1 - (n+1)x}\]

Ti prego di guardare alla dimostrazione con spirito critico, sia per trovare eventuali errori sia per comprendere come giocare con tesi e ipotesi.