Indice v nella definizione di limite:
Ultimi dubbi sulla definizione di limite:
Se ho: $\lim_{n \to \infty}a_n$ che tende al valore a la definizione mi dice che Per ogni epsilon>0 esiste un indice v( che significherebbe da un certo punto in poi?): $|a_n-a|$ < epsilon per ogni n> v (ora n indica il pedice della successione?) perchè non comprendo tale concetto? C'è qualcuno che me lo può spiegare prima in parole semplicissime e poi in modo rigoroso con la definizione? facendomi comprendere il perchè si utilizza epsilon, indice v, e n>v? grazie mille! e scusate le molte domande...
Se ho: $\lim_{n \to \infty}a_n$ che tende al valore a la definizione mi dice che Per ogni epsilon>0 esiste un indice v( che significherebbe da un certo punto in poi?): $|a_n-a|$ < epsilon per ogni n> v (ora n indica il pedice della successione?) perchè non comprendo tale concetto? C'è qualcuno che me lo può spiegare prima in parole semplicissime e poi in modo rigoroso con la definizione? facendomi comprendere il perchè si utilizza epsilon, indice v, e n>v? grazie mille! e scusate le molte domande...
Risposte
Per capirci, la definizione di limite stabilisce questo: per quanto piccolo tu possa scegliere $epsilon$, da un certo indice ( $\nu$ ) in poi $a_n$ disterà da $a$ meno di $epsilon$ ($|a_n - a | < \epsilon$).
La definizione stabilisce l'esistenza di $\nu$ (l'indice tale che da quel punto in poi si abbia $|a_n - a | < \epsilon$) dipendentemente dalla scelta di $\epsilon$. Fissato $\epsilon$ ... esiste $\nu$ (il quale dipenderà dall'$\epsilon$ fissato) tale che... et cetera...
La definizione stabilisce l'esistenza di $\nu$ (l'indice tale che da quel punto in poi si abbia $|a_n - a | < \epsilon$) dipendentemente dalla scelta di $\epsilon$. Fissato $\epsilon$ ... esiste $\nu$ (il quale dipenderà dall'$\epsilon$ fissato) tale che... et cetera...
Si può avere un esempio pratico? vorrei dimostrare che prendendo i valori n>v tutto è verificato, mentre per nv --> questo n cos'è? il pedice di an?
Prendi $a_n = 1/n$. $lim_(n -> +oo) a_n = 0$
Proviamo a verificarlo. Prendiamo $\epsilon > 0 $ arbitrario e cerchiamo di capire (in questo caso specifico è semplice) come dobbiamo scegliere $nu$ affinché soddisfi la definizione di limite, cioè tale che, da $nu$ in poi, $| a_n - 0 | = 1/n < \epsilon$
$n > 1/epsilon$ ed è abbastanza evidente che $1/epsilon = \nu$ è una scelta che funziona. Ti faccio notare che $nu$ non è unico; a te basta trovarne uno. Anche $\nu = 1/epsilon + 1$ o $\nu = 1/\epsilon + 99999$ andrebbero bene...
Proviamo a verificarlo. Prendiamo $\epsilon > 0 $ arbitrario e cerchiamo di capire (in questo caso specifico è semplice) come dobbiamo scegliere $nu$ affinché soddisfi la definizione di limite, cioè tale che, da $nu$ in poi, $| a_n - 0 | = 1/n < \epsilon$
$n > 1/epsilon$ ed è abbastanza evidente che $1/epsilon = \nu$ è una scelta che funziona. Ti faccio notare che $nu$ non è unico; a te basta trovarne uno. Anche $\nu = 1/epsilon + 1$ o $\nu = 1/\epsilon + 99999$ andrebbero bene...
Sì, $n$ è il pedice di $a_n$.
Capito! ed n deve essere necessariamente maggiore di v affinchè la successione sia vicinissima al valore limite... infatti dopo 1/epsilon abbiamo che la successione si avvicina sempre più ad a. Ma quindi il concetto di limite non è altro che un tendere, assestarsi, convergere o divergere ad un dato valore. Questo tendere però non sempre si verifica sempre, ma da un certo punto in poi, quindi da un certo v in poi... giusto?
L'idea è quella, ma attenzione... L'idea di tendere a in questo caso è formalizzata proprio dalla definizione di limite; è importante non allontanarsi tanto dal linguaggio matematico (io ti ho spiegato la faccenda con altre parole, ma sempre mantenendo un certo grado di rigore). Infatti non è chiaro ciò che affermi qui di seguito
Per capire se hai compreso la questione, ti invito ad usare la definizione di limite per far vedere che $lim_(n -> +oo) 1/n^2 = 0$ e a ragionare sul perché le cose vanno storte (in termini di definizione di limite $\epsilon - \delta$) quando provi a verificare $lim_(n -> +oo) 1/n^2 = 1/9$.
"Roslyn":
Questo tendere però non sempre si verifica sempre, ma da un certo punto in poi, quindi da un certo v in poi...
Per capire se hai compreso la questione, ti invito ad usare la definizione di limite per far vedere che $lim_(n -> +oo) 1/n^2 = 0$ e a ragionare sul perché le cose vanno storte (in termini di definizione di limite $\epsilon - \delta$) quando provi a verificare $lim_(n -> +oo) 1/n^2 = 1/9$.
Ed è qui che nascono i miei dubbi... applico la definizione di limite:
$∀ ɛ>0, ∃v: n>v |1/n^2-0|<ɛ $
Ora ottengo che: $1/n^2<ɛ $ poi come devo procedere? vorrei sapere graficamente cosa succede, epsilon, n e v dove vengono presi, sulle ascisse, ordinate? dove? non riesco proprio a comprendere il limite di una successione! sono troppo confusa =(
$∀ ɛ>0, ∃v: n>v |1/n^2-0|<ɛ $
Ora ottengo che: $1/n^2<ɛ $ poi come devo procedere? vorrei sapere graficamente cosa succede, epsilon, n e v dove vengono presi, sulle ascisse, ordinate? dove? non riesco proprio a comprendere il limite di una successione! sono troppo confusa =(
$n, v $ sono sulle ascisse , mentre $ epsilon $ è sulle ordinate.
Ti consiglio di fare il grafico mettendo in ascisse appunto $n $ che assume i valori $1,2,3,4,.........$ e in ordinate il valore di $a_n $ che in questo caso vale $1/n^2$.OK ?
Vedrai intuitivamente che al crescere di $ n $ succede che $a_n $ si avvicina sempre di più al valore 0 : infatti $a_n $ assume i valori $ 1,1/4,1/8,.........1/256,...........$
Si vuole dimostrare che il $lim_(n rarr +oo ) a_n =0 $.
Devi cioè riuscire a trovare un indice $ v $ tale che per ogni indice $n > v $ si abbia $| a_n -0 | < epsilon $ e questo deve poter avvenire per ogni $epsilon > 0 $; ovviamente la cosa diventa più stringente ed interessante al decrescere di $epsilon$.
Tutto questo vuol dire che se è vero che il limite di quella successione è proprio $0 $ allora deve essere possibile trovare un indice $v $ tale che tutti i termini della successione $a_n $ con indice $n > v $ differiscono, in valore assoluto , da $0 $ meno di $ epsilon $ essendo $ epsilon$ un numero positivo qualunque.
Vediamo di trovare questo indice $ v $.
Se non riuscissimo a trovarlo vorrebbe dire che il limite di quella successione non è $0$.ok ?
Avevi ottenuto questa diseqiuzione : $ 1/(n^2)< epsilon $ : risolviamola rispetto a $ n $.
Otterrai $ n> sqrt(1/epsilon ) $ [ in realtà ottieni anche la soluzione$ n< - sqrt(1/epsilon)$ ma $n > 0 $ quindi quest'ultima soluzione la buttiamo.
Allora qualunque sia $n $ purchè maggiore della quantità sopra indicata sarà vero che l'elemento della successione $a_n $ differuirà da $ 0 $ meno di $ epsilon$.
Mettiamoci i numeri per "toccare con mano " : prendo ad es. $epsilon = 1/100 $ allora $n> sqrt(100) = 10 $, quindi $v = 10 $, pertanto ogni valore $n>10 $ soddisfa la disequazione iniziale della def di limite.
verifico che sia proprio vero- deve esserlo !!.
sia $ n=11 $ per cui $a_(11) =1/121= 0.00826........$ e quindi il termine $a_(11)$ differisce dal numero $0$ ( cioè dal limite ) di una quantità $0.00826...$ che è minore di $epsilon = 1/100 $.
DUNQUE è VERO CHE IL LIMITE DI QUELLA SUCCESSIONE VALE $0$.
Se provassi con $epsilon = 1/10000$ troverei che $v> 100 $ etc.etc
Ti consiglio di fare il grafico mettendo in ascisse appunto $n $ che assume i valori $1,2,3,4,.........$ e in ordinate il valore di $a_n $ che in questo caso vale $1/n^2$.OK ?
Vedrai intuitivamente che al crescere di $ n $ succede che $a_n $ si avvicina sempre di più al valore 0 : infatti $a_n $ assume i valori $ 1,1/4,1/8,.........1/256,...........$
Si vuole dimostrare che il $lim_(n rarr +oo ) a_n =0 $.
Devi cioè riuscire a trovare un indice $ v $ tale che per ogni indice $n > v $ si abbia $| a_n -0 | < epsilon $ e questo deve poter avvenire per ogni $epsilon > 0 $; ovviamente la cosa diventa più stringente ed interessante al decrescere di $epsilon$.
Tutto questo vuol dire che se è vero che il limite di quella successione è proprio $0 $ allora deve essere possibile trovare un indice $v $ tale che tutti i termini della successione $a_n $ con indice $n > v $ differiscono, in valore assoluto , da $0 $ meno di $ epsilon $ essendo $ epsilon$ un numero positivo qualunque.
Vediamo di trovare questo indice $ v $.
Se non riuscissimo a trovarlo vorrebbe dire che il limite di quella successione non è $0$.ok ?
Avevi ottenuto questa diseqiuzione : $ 1/(n^2)< epsilon $ : risolviamola rispetto a $ n $.
Otterrai $ n> sqrt(1/epsilon ) $ [ in realtà ottieni anche la soluzione$ n< - sqrt(1/epsilon)$ ma $n > 0 $ quindi quest'ultima soluzione la buttiamo.
Allora qualunque sia $n $ purchè maggiore della quantità sopra indicata sarà vero che l'elemento della successione $a_n $ differuirà da $ 0 $ meno di $ epsilon$.
Mettiamoci i numeri per "toccare con mano " : prendo ad es. $epsilon = 1/100 $ allora $n> sqrt(100) = 10 $, quindi $v = 10 $, pertanto ogni valore $n>10 $ soddisfa la disequazione iniziale della def di limite.
verifico che sia proprio vero- deve esserlo !!.
sia $ n=11 $ per cui $a_(11) =1/121= 0.00826........$ e quindi il termine $a_(11)$ differisce dal numero $0$ ( cioè dal limite ) di una quantità $0.00826...$ che è minore di $epsilon = 1/100 $.
DUNQUE è VERO CHE IL LIMITE DI QUELLA SUCCESSIONE VALE $0$.
Se provassi con $epsilon = 1/10000$ troverei che $v> 100 $ etc.etc
Che bello sto capendo il concetto!!! però mettiamo che voglio dimostrare che $\lim_{n \to \infty}1/n=1$ , applico la definzione ed ho: $ ∀ ɛ >0 ,∃v: n>v |1/n-1|<ɛ $ quindi ottengo che: $1/n -1<ɛ$ ---> $n>1/(1+ɛ)$ ora come procedo? ho trovato l'indice quindi è verificata? eppure dovrebbe risultare falso! perchè il limite è 0!
@ Roslyn: Occhio che \(|\frac{1}{n}-1|\) non è uguale a \(\frac{1}{n}-1\)...
Partiamo da $| 1/n-1|< epsilon $ ; dobbiamo sciogliere il valore assoluto.
Si ottiene $1-epsilon <1/n < 1+epsilon $ -tu hai invece considerato un solo " pezzo ".
Risolvendo le due disequazioni otterrai :
$n >1/(1+epsilon) $ ma anche $ n< 1/(1-epsilon) $ ed ambedue devono essere verificate.
In conclusione avremo che $1/(1+epsilon)
Ma noi vogliamo verificare quale sia il limite della successione per $ n rarr +oo $; dobbiamo quindi trovare come soluzione della disequazione per $ n $ un intorno di $+oo $ , cioè un valore $v $ tale che $n > v $ etc etc.
Si ottiene $1-epsilon <1/n < 1+epsilon $ -tu hai invece considerato un solo " pezzo ".
Risolvendo le due disequazioni otterrai :
$n >1/(1+epsilon) $ ma anche $ n< 1/(1-epsilon) $ ed ambedue devono essere verificate.
In conclusione avremo che $1/(1+epsilon)
Ma noi vogliamo verificare quale sia il limite della successione per $ n rarr +oo $; dobbiamo quindi trovare come soluzione della disequazione per $ n $ un intorno di $+oo $ , cioè un valore $v $ tale che $n > v $ etc etc.
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