Inclusione

[TS778LB]

Sto riscontrando delle difficoltà in alcune definizioni in cui compare il simbolo di inclusione $ \subseteq $

Esempio 1
Un insieme $ A\subseteq R^n $ di si è limitato se è contenuto in un intorno circolare dell’origine.
Non bisognerebbe escludere la possibilità che $ A=R^n $ utilizzando un inclusione stretta dato che $ R^n $ è non limitato?

Esempio 2
Sia $ f:A\subseteqR^n->R $ e $ x_0\inDA $. Allora $ \lim_{x\tox_0}f(x)=l\leftrightarrow\forallI_l\subseteqR\existsI_\delta(x_0)\subseteqR^n:… $
Se non si esclude la possibilità che l’intorno del punto sia $ R^n $ allora il raggio $ \delta $ dovrebbe essere infinto ma ciò non può accadere (e lo stesso immagino valga per l’intorno di $ l $)

Perché non si utilizza l’inclusione stretta in questi casi?

[Mephlip]

Da quanto so, alcuni autori usano il simbolo $\subseteq$ intendendo $\subset$. Per indicare l'inclusione non stretta usano il più esplicito simbolo \(\subsetneqq\); quindi potrebbe essere semplicemente un'incomprensione dovuta alla notazione.

Mi pare anche di ricordare una conversazione qui sul forum in cui dissonance faceva notare ad anto_zoolander proprio questo fatto, ossia che l'uso del simbolo $\subseteq$ intendendo inclusione non stretta fosse inusuale (o quantomeno ambiguo), ma potrei ricordarmi male (non trovo la conversazione, sempre se esiste; se la ritrovo te la linko).

[TS778LB]

Nel mio testo (Marcelli-Sbordone) l’inclusione stretta è indicata con $ \subset $

[marco2132k]

È un modo comune di dire le cose. In 1), se un \( A\subseteq \mathbb R^n \) è limitato nel tuo senso (nel senso che c'è un raggio \( \epsilon > 0 \) tale che \( A \) sta dentro la palla \( B(0,\epsilon) \)), non può (perché è assurdo) essere \( A = \mathbb R^n \), quindi tanto vale dire "\( A\subseteq \mathbb R^n \)" senza stare lì ad aggiungere altre informazioni che poi magari sbagli; in 2) non ho letto con attenzione perché non riesco di decifrare le tue notazioni, ma essenzialmente penso che valga la stessa cosa di prima.