In difficoltà su una sommatoria

[pasquale.caputo.9028]

Ciao a tutti mi sto scervellando da ieri su questa sommatoria che ci ha dato la prof di analisi e di cui dobbiamo determinare il valore $\sum_{k=0}^9 (-1)^k* (2^(k+3))/(3^(k+2))$.
Io ho usato le proprieta delle potenze e le propreita della sommatoria sono arrivato a questo punto $ 2^3/3^2* \sum_{k=0}^9 (-1)^k 2^k/3^k$ poi ho provato anche a svolgere i conti pero mi trovo numeri enormi e dato che dovrei farlo senza calcolatrice diventa impossibile, qualcuno mi potrebbe aiutare e indirizzare sulla retta via

[Ziben]

Ciao, la tua somma diventa:
$8/9 \sum_(k=0)^9(-2/3)^k$
ora
$\sum_(k=0)^n q^k = (1-q^(n+1))/(1-q)$

[pasquale.caputo.9028]

ho applicato la formula che mi hai detto e sono arrivato a questo punto $8/9 *(1-(2/3)^10)/(1-(2/3))$ svolgendo i vari calcoli sono arrivato a questo punto $8/9*(3^10-2^10)/3^10*3/5$ semplificando ancora $(2^3*(3^10-2^10))/(3^11*5)$ e non so più andare avanti ho fatto bene fino a questo punto?

[Ziben]

Ciao,
il risultato mi sembra corretto. Ma tu vuoi esprimere quel numero in forma decimale? Senza calcolatrice? Allora, ammesso che sia possibile, ti serve uno più bravo di me, mi spiace. Puoi fare una stima però:

$2^3(3^10-2^10)/(5*3*3^10) = 2^3/15(1-(2/3)^10)$. Ora il numero è positivo perché $1-(2/3)^10 >0$. Inoltre $2^3/15=8/15 <1$ e anche $1-(2/3)^10 <1$

Il numero sarà perciò compreso fra $0$ e $1$. Poi nota che $8/15>1/2$ e che $1-(2/3)^10>1-2/3$
Allora il numero sarà maggiore di $1/2*(1-2/3)=1/6$. Si può migliorare ancora la stima: si può intuire che $(2/3)^10$ sia abbastanza piccolo, l'errore che si commette utilizzando $1$ al suo posto non sarà grande. Allora il tuo numero sarà di poco inferiore a $8/15$ che è di poco superiore a $1/2$

Forse ti ho fatto confusione, e magari ci sono soluzioni più eleganti ma purtroppo di meglio non mi viene in mente.

[pasquale.caputo.9028]

grazie mille per l'aiuto, era proprio quello che mi serviva!! Mi ero bloccato su una cavolata...