Immagine funzione di due variabili
Ho trovato in molti esercizi d'esame degli esercizi del tipo:
Trovare l'immagine della funzione $ f:RR^2->RR $ definita da $ f(x,y)=.. $ ristretta al dominio $ D={...} $.
Per fare esercizi del genere la cosa più logica mi sembra studiare le linee di livello della funzione e poi guardare come si comporta la funzione ristretta a quel particolare dominio. Se però le linee di livello di quella funzione non sono facili da studiare cos'altro posso fare? Inoltre se costruendo le linee di livello mi venissero ad esempio dei centri concentrici come posso sapere che si tratta di un paraboloide o di un cono?
Grazie in anticipo.
Trovare l'immagine della funzione $ f:RR^2->RR $ definita da $ f(x,y)=.. $ ristretta al dominio $ D={...} $.
Per fare esercizi del genere la cosa più logica mi sembra studiare le linee di livello della funzione e poi guardare come si comporta la funzione ristretta a quel particolare dominio. Se però le linee di livello di quella funzione non sono facili da studiare cos'altro posso fare? Inoltre se costruendo le linee di livello mi venissero ad esempio dei centri concentrici come posso sapere che si tratta di un paraboloide o di un cono?
Grazie in anticipo.
Risposte
In realtà, trovare l'immagine equivale a determinare l'intervallo su cui variano i valori $z=f(x,y)$, per cui basta determinare se la funzione abbia o meno massimi e minimi assoluti sul dominio $D$.... ergo, sono problemi di massimo e minimo vincolati.
Si però ci sono alcuni esercizi dove non c'è bisogno di studiare massimi e minimi della funzione, come ad esempio:
Es: Sia $ D={(x,y)inRR^2:|3x|-2<=y<=1} $ e sia $ f(x,y):=x^2+(y-2)^2,(x,y)inRR^2 $. Determinare l'immagine $ f(D) $.
Qui ad esempio non c'è bisogno che mi calcoli massimi e minimi per vedere cos'è l'immagine.
Quindi riformulo la domanda: a meno di casi semplici (come quello in esempio) l'unico modo per determinare l'immagine di una funzione $ f:RR^2->RR $ è studiare massimi e minimi di questa?
grazie.
Es: Sia $ D={(x,y)inRR^2:|3x|-2<=y<=1} $ e sia $ f(x,y):=x^2+(y-2)^2,(x,y)inRR^2 $. Determinare l'immagine $ f(D) $.
Qui ad esempio non c'è bisogno che mi calcoli massimi e minimi per vedere cos'è l'immagine.
Quindi riformulo la domanda: a meno di casi semplici (come quello in esempio) l'unico modo per determinare l'immagine di una funzione $ f:RR^2->RR $ è studiare massimi e minimi di questa?
grazie.
Per curiosità: tu come lo risolvi questo esercizio? Stime sulla funzione? Calcoli di limiti? In realtà forse non te ne rendi conto, ma quello che fai è verificare se la funzione abbia o meno degli estremi finiti.
Ti spiego cosa intendo: il dominio $D$ in questione è un insieme chiuso e limitato (è un triangolo), per cui per il teorema di Weierstrass la funzione, che è continua, ammette su esso un massimo e un minimo assoluti. Inoltre, essa assume tutti i valori compresi nell'intervallo tra questi due, per cui l'immagine è data da $f(D)=[m,M]$. Ora, già per il calcolo del minimo la cosa non è banale: poiché $f(x,y)\ge 0$ e $f(x,y)=0$ se e solo se $x=0,\ y=2$, e poiché il punto $(0,2)\notin D$ allora sicuramente il valore del minimo assoluto di $f$ non è zero. Allo stesso modo, anche il calcolo del massimo non è immediato. Un metodo veloce, per determinare tali punti, è ragionare così: poiché la funzione ammette valori fissati pari a $r^2$ sulle circonferenze di centro $(0,2)$ e raggio $r$, ovviamente più ci si allontana da tale punto, più la funzione cresce. Facendo un semplice ragionamento geometrico, allora, puoi trovare che il minimo si ha nel punto $(0,1)$ e si ha $f(0,1)=1$, mentre il massimo si ha nel punto $(0,-2)$ e si ha $f(0,-2)=16$. In definitiva $f(D)=[1,16]$.
Concordo con te nel dire che in questo caso la cosa è semplice, ma ribadisco quello che ho detto: un tale tipo di problema altro non è che la ricerca dei massimi e minimi vincolati di una funzione data. Che poi tu lo veda ad occhio, o che debba perdere 8 giorni di calcoli per determinarli, questo è un altro punto.
Ti spiego cosa intendo: il dominio $D$ in questione è un insieme chiuso e limitato (è un triangolo), per cui per il teorema di Weierstrass la funzione, che è continua, ammette su esso un massimo e un minimo assoluti. Inoltre, essa assume tutti i valori compresi nell'intervallo tra questi due, per cui l'immagine è data da $f(D)=[m,M]$. Ora, già per il calcolo del minimo la cosa non è banale: poiché $f(x,y)\ge 0$ e $f(x,y)=0$ se e solo se $x=0,\ y=2$, e poiché il punto $(0,2)\notin D$ allora sicuramente il valore del minimo assoluto di $f$ non è zero. Allo stesso modo, anche il calcolo del massimo non è immediato. Un metodo veloce, per determinare tali punti, è ragionare così: poiché la funzione ammette valori fissati pari a $r^2$ sulle circonferenze di centro $(0,2)$ e raggio $r$, ovviamente più ci si allontana da tale punto, più la funzione cresce. Facendo un semplice ragionamento geometrico, allora, puoi trovare che il minimo si ha nel punto $(0,1)$ e si ha $f(0,1)=1$, mentre il massimo si ha nel punto $(0,-2)$ e si ha $f(0,-2)=16$. In definitiva $f(D)=[1,16]$.
Concordo con te nel dire che in questo caso la cosa è semplice, ma ribadisco quello che ho detto: un tale tipo di problema altro non è che la ricerca dei massimi e minimi vincolati di una funzione data. Che poi tu lo veda ad occhio, o che debba perdere 8 giorni di calcoli per determinarli, questo è un altro punto.
Benissimo grazie mille.
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