Il limite $lim_ (x->+oo) x^0$ è una forma indeterminata?
Dato che all'esponente c'è zero e non una $g(x) -> 0$ che tende a zero,
il limite $lim_ (x->+oo) x^0$ è da considerarsi forma indeterminata o fa semplicemente 1?
Grazie!
il limite $lim_ (x->+oo) x^0$ è da considerarsi forma indeterminata o fa semplicemente 1?
Grazie!
Risposte
certo, se è "proprio zero", è $1$ ($x$ non è "proprio infinito").
tu però parli di "limite", ed è difficile dire che non è una forma indeterminata.
ti posso rispondere con un esempio: se stai studiando la funzione
$f(x)={[e^x," if "x<=0], [x^0," if "x>0] :}$
allora per x>0 questa è costantemente = 1, quindi anche il tuo limite deve essere 1.
però, sul fatto che non sia da considerare forma indeterminata, considerando il limite avulso dal contesto, ho qualche dubbio:
magari è solo una questione di notazioni, ma sarebbe bene sentire qualche altro parere in merito.
tu però parli di "limite", ed è difficile dire che non è una forma indeterminata.
ti posso rispondere con un esempio: se stai studiando la funzione
$f(x)={[e^x," if "x<=0], [x^0," if "x>0] :}$
allora per x>0 questa è costantemente = 1, quindi anche il tuo limite deve essere 1.
però, sul fatto che non sia da considerare forma indeterminata, considerando il limite avulso dal contesto, ho qualche dubbio:
magari è solo una questione di notazioni, ma sarebbe bene sentire qualche altro parere in merito.
Io ragiono così [tex]$\lim_{x\to+\infty}x^0=\lim_{x\to+\infty}1=1$[/tex] e non mi sono mai sorti dubbi sulla sua correttezza!
"j18eos":
Io ragiono così [tex]$\lim_{x\to+\infty}x^0=\lim_{x\to+\infty}1=1$[/tex] e non mi sono mai sorti dubbi sulla sua correttezza!
Spero che sia così anche perchè mi risolverebbe molti problemi in alcuni esercizi...
Aspettando che qualcunaltro confermi
Così come postato il limite vale 1 perchè $x^0=1$ e quindi $\lim_{x \to +\infty} 1=1$.
Non credo assolutamente che sia una forma indeterminata...tuttavia solo curioso di leggere altri pareri e notare quanto ciuccio sono
Non credo assolutamente che sia una forma indeterminata...tuttavia solo curioso di leggere altri pareri e notare quanto ciuccio sono
Io non la riterrei una forma indeterminata. Infatti vale il seguente:
Claim. Sia [tex]f:A\subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}[/tex] una qualsiasi funzione e supponiamo che [tex]+\infty[/tex] sia un punto di accumulazione per [tex]A[/tex] (nell'usuale topologia di [tex]\mathbb{R}\cup\{+\infty,-\infty\}[/tex]). Allora
- [tex]\displaystyle \lim_{A\ni x \to +\infty} f(x)^0 = 1[/tex][/list:u:31e71oqz]
Proof. Basta osservare che la funzione [tex]g:A \to \mathbb{R}[/tex] definita da [tex]g(x) = f(x)^0[/tex] è la funzione che vale costantemente 1. Di conseguenza segue la tesi (il limite delle funzioni costanti esiste sempre).[tex]\square[/tex]
[/list:u:31e71oqz]
Quindi si tratta di una forma sempre ben determinata a priori...
L'esempio proposto da adaBTTLS mi aveva fatto sorgere qualche dubbio all'inizio, ma poi ho osservato che non rientra nel Claim che ho dimostrato sopra... In ogni caso mi interesserebbe sapere i vostri pareri...
l'esempio serviva proprio per dire questo: funzione costante nell'intorno di $+oo$.
il dubbio era un altro: esiste qualche altra categoria di funzioni per cui la stessa espressione può essere considerata una forma indeterminata?
il dubbio era un altro: esiste qualche altra categoria di funzioni per cui la stessa espressione può essere considerata una forma indeterminata?
"adaBTTLS":
il dubbio era un altro: esiste qualche altra categoria di funzioni per cui la stessa espressione può essere considerata una forma indeterminata?
Nell'ambito del calcolo infinitesimale, diciamo che un certo limite è una forma indeterminata quando non siamo in grado di predirne a priori il risultato finale e quindi bisogna "giostrarsela" caso per caso. Nella questione in esame il limite è sempre ben determinato (a meno che io non abbia capito cosa vuoi dire con la frase citata sopra), perché è sempre ben determinato il significato di un numero elevato a 0...
no, è chiaro che non ci sono dubbi sulla nostra interpretazione, ma io sono solo un po' scettica sulla domanda, perché: chi sarebbe tanto matto da scrivere una funzione in quel modo usato da me? non sarebbe più sensato scrivere $1$ anziché $x^0$ ?
Sì, sono d'accordo che sia diabolico scrivere la funzione in quel modo... Però, purtroppo (parlo per esperienza personale!) certe persone non hanno ben chiaro in testa il concetto di forma indeterminata: non hanno capito, in sostanza che quando si dice che [tex]\infty^0[/tex] è una forma indeterminata, si usano i simboli [tex]\infty[/tex] e [tex]0[/tex] come rappresentanti di classi di funzioni (gli infiniti e gli infinitesimi, relativamente al punto in cui si sta facendo il limite). Di qui nascono incomprensioni e (dal mio punto di vista) la necessità di esercizi un po' "diabolici" che spingano a riflettere su queste cose (specialmente al livello liceale)...
"diabolico" forse è un po' esagerato: probabilmente nella casistica delle forme indeterminate, una serie di esempi di vario genere, da casi particolarmente semplici a forme indeterminate apparenti, se così si possono definire, sono quasi doverosi.
la questione che rimane è sempre la stessa: a me rimane ancora poco chiaro il contesto, se cioè è uno di questi esempi di cui parlo qui, se è un esercizio isolato sui limiti oppure se è un limite ricavato dallo studio di una funzione (quest'ultimo caso mi darebbe da pensare...).
la questione che rimane è sempre la stessa: a me rimane ancora poco chiaro il contesto, se cioè è uno di questi esempi di cui parlo qui, se è un esercizio isolato sui limiti oppure se è un limite ricavato dallo studio di una funzione (quest'ultimo caso mi darebbe da pensare...).
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